Zliczanie w prostych sytuacjach

Rozwiązanie

1. Dziesiątki od $1$ do $7$, a jedności to $7$ minus dziesiątki.

2. $16, 25, 34, 43, 52, 61, 70$, czyli $7$ liczb.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Do listy dopisane jest $07$, a to nie jest liczba dwucyfrowa. Cyfra dziesiątek nie może być zerem.
• C
  Pominięta jest liczba $70$. Cyfra jedności może być zerem, więc dziesiątki idą aż do $7$.
• D
  To liczba par cyfr bez względu na kolejność ($\{1, 6\}$, $\{2, 5\}$, $\{3, 4\}$, $\{0, 7\}$), np. $16$ i $61$ policzone jako jedno. To dwie różne liczby.

Rozwiązanie

1. Ustal cyfrę dziesiątek $d$. Cyfra jedności może być od $0$ do $d - 1$: to $d$ możliwości.

2. Dziesiątki $1$: $10$. Dziesiątki $2$: $20, 21$. Dziesiątki $3$: $30, 31, 32$. I tak dalej, aż do dziesiątek $9$: $90, 91, \ldots, 98$.

3. $1 + 2 + 3 + \ldots + 9 = 45$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Pominięte są liczby z zerem na końcu: $10, 20, \ldots, 90$. Zero jest mniejsze od każdej cyfry dziesiątek, więc te liczby się liczą.
• C
  Doliczone są liczby o równych cyfrach: $11, 22, \ldots, 99$. W nich cyfra dziesiątek nie jest większa, tylko równa.
• D
  To wszystkie liczby dwucyfrowe, od $10$ do $99$. Warunek odrzuca te, w których dziesiątki nie są większe od jedności.

Rozwiązanie

1. Zawodnicy $1, 2, \ldots, 6$. Pierwszy gra z $5$ rywalami, drugi z $4$ nowymi, trzeci z $3$, czwarty z $2$, piąty z $1$.

2. $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

3. Kto odpowie $6 \cdot 5 = 30$, liczy każdą partię dwa razy: raz jako „A z B” i raz jako „B z A”.

Odpowiedź:

• a) przewodniczący i zastępca:: $20$
• b) delegacja:: $10$

Rozwiązanie

1. b) Delegacja to para bez kolejności: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE, czyli $10$.

2. a) W każdej z tych $10$ par jedna osoba może być przewodniczącym, a druga zastępcą, albo odwrotnie: $10 \cdot 2 = 20$.

3. Kontrola: przewodniczącego wybierasz z $5$ osób, a zastępcę z $4$ pozostałych, $5 \cdot 4 = 20$.

Rozwiązanie

1. Iloczyn $6$ dają rozkłady $1 \cdot 6$ i $2 \cdot 3$ (liczby oczek są od $1$ do $6$).

2. Każdy rozkład daje dwa pola tabeli: $(1, 6), (6, 1), (2, 3), (3, 2)$. Razem $4$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Policzone są tylko pary $\{1, 6\}$ i $\{2, 3\}$, bez kolejności. Ale $(1, 6)$ i $(6, 1)$ to dwa różne wyniki: dwa pola tabeli.
• C
  Pominięte jest jedno z pól, najpewniej $(6, 1)$ albo $(3, 2)$. Przejdź tabelę wiersz po wierszu.
• D
  To liczba wyników z sumą $7$, a pytanie jest o iloczyn.

Odpowiedź:

• Wyników, w których suma oczek jest równa $8$, jest $5$.: P (prawda)
• Wyników, w których na obu kostkach jest to samo, jest $6$.: P (prawda)
• Wszystkich wyników jest $12$.: F (fałsz)
• Wyników, w których suma oczek jest równa $2$, jest $2$.: F (fałsz)

Rozwiązanie

1. Tabela $6 \times 6$ ma $36$ pól.

2. Suma $8$: $5$ pól. Te same liczby: $6$ pól na przekątnej. Suma $2$: jedno pole $(1, 1)$.

Rozwiązanie

1. Pierwszy rzut $1$: $5$ wyników, $2$: $4$, $3$: $3$, $4$: $2$, $5$: $1$, $6$: żadnego.

2. $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.

3. Kontrola: z $36$ pól $6$ leży na przekątnej, a pozostałe $30$ dzielą się po równo na „więcej w drugim” i „więcej w pierwszym”: $30 : 2 = 15$.

Rozwiązanie

1. Pierwsza: $28 = 4 \cdot 7$. Ostatnia: $140 = 4 \cdot 35$.

2. Liczb od $7$ do $35$ jest $35 - 7 + 1 = 29$.

3. Kto zapomni o $+1$, dostanie $28$ i zgubi jeden z końców.

Rozwiązanie

1. Możliwe liczby leżą od $11$ do $66$. Wielokrotności $6$ w tym zakresie: $12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66$, czyli $\frac{66 - 12}{6} + 1 = 10$.

2. Odrzucamy te, których cyfra nie może wypaść na kostce: $18$, $30$, $48$, $60$.

3. Zostają $12, 24, 36, 42, 54, 66$, czyli $6$ liczb.