Przekształcenia równoważne i proporcje

Rozwiązywanie równania to seria kroków, z których każdy nie może ani zgubić, ani dodać rozwiązania. Większość takich kroków znasz od podstawówki. Ten rozdział pokazuje te, które są pułapką: dzielenie przez $x$ , podnoszenie do kwadratu, mnożenie przez mianownik. Potem ćwiczysz dwa zastosowania: równania w postaci proporcji z niewiadomą w mianowniku i przekształcanie wzorów.

Dział III: Równania i nierówności. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 35 minut, 3 przykłady i 8 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: 27 września 2026.

Po tym poradniku:

odróżniasz przekształcenia równoważne od tych, które gubią albo dodają rozwiązania
wyznaczasz dziedzinę równania z niewiadomą w mianowniku
rozwiązujesz równanie w postaci proporcji i sprawdzasz rozwiązania z dziedziną
wyznaczasz wskazaną wielkość ze wzoru z fizyki albo geometrii

Co to jest przekształcenie równoważne

Dwa równania są równoważne, gdy mają dokładnie ten sam zbiór rozwiązań. Przekształcenie równoważne zmienia wygląd równania, ale nie zmienia rozwiązań. Takie są:

dodanie albo odjęcie tej samej liczby lub tego samego wyrażenia po obu stronach, np. przeniesienie wyrazu „na drugą stronę ze zmianą znaku”;
pomnożenie albo podzielenie obu stron przez tę samą liczbę różną od zera;
pomnożenie obu stron przez wyrażenie, które nigdy nie jest zerem, np. $x^2 + 1$ .

Nie są równoważne:

mnożenie przez $0$ : z $x = 3$ robi się $0 = 0$ , prawdziwe dla każdego $x$ ;
dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem: z $x^2 = 2x$ dzielenie przez $x$ daje $x = 2$ i gubi rozwiązanie $0$ ;
mnożenie przez wyrażenie, które może być zerem: z $x = 2$ mnożenie przez $x - 5$ daje $x(x - 5) = 2(x - 5)$ , które ma dodatkowe rozwiązanie $5$ ;
podnoszenie do kwadratu: z $x = -3$ robi się $x^2 = 9$ , które dodaje rozwiązanie $3$ .

Równanie

x^2 = 2x

ma dwa rozwiązania:

0

2

. Po podzieleniu przez

x

zostaje tylko

x = 2

. Punkt

(0, 0)

„znika”, choć wciąż jest na obu wykresach.

Zadanie 1

2 pkt

Oceń, czy podane równania są równoważne.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

$3x - 6 = 9$ oraz $x - 2 = 3$ .
$x^2 = 2x$ oraz $x = 2$ .
$x = -3$ oraz $x^2 = 9$ .
$x - 1 = 4$ oraz $(x^2 + 1)(x - 1) = 4(x^2 + 1)$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$3x - 6 = 9$ oraz $x - 2 = 3$ .: P (prawda)
$x^2 = 2x$ oraz $x = 2$ .: F (fałsz)
$x = -3$ oraz $x^2 = 9$ .: F (fałsz)
$x - 1 = 4$ oraz $(x^2 + 1)(x - 1) = 4(x^2 + 1)$ .: P (prawda)

Rozwiązanie

Dzielenie i mnożenie przez liczbę różną od zera albo przez wyrażenie, które nigdy nie jest zerem, nie zmienia rozwiązań.
Dzielenie przez $x$ może zgubić rozwiązanie $0$ , a podnoszenie do kwadratu może dodać rozwiązanie o przeciwnym znaku.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Niewiadoma w mianowniku: najpierw dziedzina

Przez zero nie dzielimy. Jeśli w mianowniku stoi $x$ , to niektóre liczby w ogóle nie mogą być rozwiązaniem, bo dla nich równanie nie ma sensu. Zbiór pozostałych liczb to dziedzina równania. Wyznaczasz ją na samym początku:

wypisz wszystkie mianowniki z $x$ ;
każdy przyrównaj do zera i rozwiąż;
wyrzuć te liczby ze zbioru $\mathbb{R}$ .

Przykład: w równaniu $\frac{3}{x - 2} = \frac{x}{2x + 6}$ mianowniki zerują się dla $x = 2$ i $x = -3$ , więc $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\}$ .

Zadanie 2

1 pkt

Dziedziną równania $\frac{x + 5}{3x - 6} = \frac{2}{x + 4}$ jest zbiór:

A.
$\mathbb{R} \setminus \{-4, 2\}$
B.
$\mathbb{R} \setminus \{-2, 4\}$
C.
$\mathbb{R} \setminus \{2\}$
D.
$\mathbb{R} \setminus \{-5, -4, 2\}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $\mathbb{R} \setminus \{-4, 2\}$

Rozwiązanie

$3x - 6 \neq 0 \iff x \neq 2$ oraz $x + 4 \neq 0 \iff x \neq -4$ .
$D = \mathbb{R} \setminus \{-4, 2\}$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Odwrócone znaki. $x + 4$ zeruje się dla $-4$ , a $3x - 6$ dla $2$ .
C
Pominięty mianownik po prawej stronie. Dla $x = -4$ ułamek $\frac{2}{x + 4}$ nie istnieje.
D
Liczba $-5$ zeruje licznik, a licznik może być zerem. Wykluczamy tylko zera mianowników.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Równanie jako proporcja

Gdy równanie ma postać „ułamek = ułamek”, to jest proporcja. Dla $b \neq 0$ i $d \neq 0$ :

\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \cdot d = b \cdot c

To tak zwane mnożenie „na krzyż”. Jest równoważne tylko wtedy, gdy mianowniki są różne od zera, i dlatego dziedzinę wyznaczasz najpierw. Przepis:

dziedzina;
mnożenie na krzyż (nawiasy!);
rozwiązanie równania liniowego albo kwadratowego;
sprawdzenie, czy rozwiązania należą do dziedziny.

Przykład Proporcja, z której wychodzi równanie kwadratowe

Rozwiąż równanie $\frac{5}{x - 4} = \frac{x + 4}{2x - 1}$ .

Dziedzina: $x - 4 \neq 0$ i $2x - 1 \neq 0$ , więc $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}, 4\right\}$ .
Na krzyż: $5(2x - 1) = (x + 4)(x - 4)$ , czyli $10x - 5 = x^2 - 16$ .
Porządkujemy: $x^2 - 10x - 11 = 0$ .
$\Delta = 100 + 44 = 144, \qquad x_1 = \frac{10 - 12}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{10 + 12}{2} = 11$
Obie liczby należą do dziedziny. Sprawdzenie dla $x = -1$ : $\frac{5}{-5} = -1$ i $\frac{3}{-3} = -1$ . Odpowiedź: $x \in \{-1, 11\}$ .

Zadanie 3

1 pkt

Rozwiąż równanie $\frac{2x + 3}{x - 1} = \frac{7}{3}$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

x =

16

Rozwiązanie

$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ . Na krzyż: $3(2x + 3) = 7(x - 1)$ .
$6x + 9 = 7x - 7$ , więc $x = 16$ . Należy do dziedziny.
Sprawdzenie: $\frac{35}{15} = \frac{7}{3}$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

2 pkt

Rozwiąż równanie $\frac{6}{x - 4} = \frac{x - 3}{2x - 1}$ . Wpisz oba rozwiązania.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$x_1 =$ $1$
$x_2 =$ $18$

Rozwiązanie

$D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}, 4\right\}$ . Na krzyż: $12x - 6 = x^2 - 7x + 12$ .
$x^2 - 19x + 18 = 0$ , $\Delta = 289$ , $x = \frac{19 \mp 17}{2}$ , czyli $1$ i $18$ .
Obie liczby należą do dziedziny. Sprawdzenie dla $x = 1$ : $\frac{6}{-3} = -2$ i $\frac{-2}{1} = -2$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Rozwiązanie spoza dziedziny

Po mnożeniu na krzyż znikają mianowniki, a razem z nimi znika informacja, że pewne liczby są zakazane. Nowe równanie może mieć rozwiązanie, którego wyjściowe równanie nie ma. Dlatego ostatni krok, sprawdzenie z dziedziną, nie jest formalnością.

Przykład Jedno z rozwiązań odpada

Rozwiąż równanie $\frac{4}{x - 1} = \frac{x + 2}{2x - 2}$ .

Dziedzina: $x - 1 \neq 0$ i $2x - 2 \neq 0$ . Oba warunki to $x \neq 1$ , więc $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
Na krzyż: $4(2x - 2) = (x + 2)(x - 1)$ , czyli $8x - 8 = x^2 + x - 2$ .
$x^2 - 7x + 6 = 0$ , $\Delta = 49 - 24 = 25$ , więc $x = 1$ lub $x = 6$ .
$x = 1$ nie należy do dziedziny: dla niego oba mianowniki są zerem. Odrzucamy.
Odpowiedź: $x = 6$ . Sprawdzenie: $\frac{4}{5}$ i $\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$ .

Zadanie 5

1 pkt

Równanie $\frac{3}{x - 2} = \frac{x + 1}{2x - 4}$ :

A.
ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 5$
B.
ma dwa rozwiązania: $x = 2$ i $x = 5$
C.
ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 2$
D.
nie ma rozwiązań

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. ma dokładnie jedno rozwiązanie: $x = 5$

Rozwiązanie

$D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ . Na krzyż: $3(2x - 4) = (x + 1)(x - 2)$ , czyli $6x - 12 = x^2 - x - 2$ .
$x^2 - 7x + 10 = 0$ , $\Delta = 9$ , więc $x = 2$ lub $x = 5$ .
$2 \notin D$ , zostaje $x = 5$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Brak sprawdzenia z dziedziną. Dla $x = 2$ mianowniki $x - 2$ i $2x - 4$ są zerem.
C
Odrzucona zła liczba. To $2$ zeruje mianowniki, a $5$ daje $\frac{3}{3} = \frac{6}{6}$ .
D
Odpada tylko $x = 2$ . Liczba $5$ należy do dziedziny i spełnia równanie.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Przekształcanie wzorów

Wyznaczenie wielkości ze wzoru to rozwiązanie równania, w którym niewiadomą jest jedna litera, a pozostałe litery traktujesz jak zwykłe liczby. Reguły są te same: robisz po obu stronach to samo i dzielisz tylko przez wyrażenia różne od zera.

Dobra kolejność: najpierw pozbądź się ułamków (pomnóż przez mianownik), potem przenieś wyrazy bez szukanej litery na drugą stronę, na końcu podziel przez to, co stoi przy szukanej literze.

Przykład Wzór na pole trapezu

Ze wzoru $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ wyznacz $h$ oraz $b$ .

Mnożymy obie strony przez $2$ : $2P = (a + b) \cdot h$ .
Szukamy $h$ : dzielimy przez $a + b$ (długości są dodatnie, więc $a + b \neq 0$ ): $h = \frac{2P}{a + b}$ .
Szukamy $b$ : dzielimy $2P = (a + b)h$ przez $h$ : $\frac{2P}{h} = a + b$ .
Odejmujemy $a$ : $b = \frac{2P}{h} - a$ .
Kontrola na liczbach: $a = 3$ , $b = 5$ , $h = 4$ daje $P = 16$ , a wtedy $\frac{2 \cdot 16}{4} - 3 = 5$ . Zgadza się.

Zadanie 6

1 pkt

Objętość stożka to $V = \frac{1}{3}\pi r^2 H$ . Wysokość $H$ wyraża się wzorem:

A.
$H = \frac{3V}{\pi r^2}$
B.
$H = \frac{V}{3\pi r^2}$
C.
$H = 3V - \pi r^2$
D.
$H = \frac{\pi r^2}{3V}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $H = \frac{3V}{\pi r^2}$

Rozwiązanie

$V = \frac{1}{3}\pi r^2 H \;\Big|\cdot 3 \;\Rightarrow\; 3V = \pi r^2 H$ .
Dzielimy przez $\pi r^2 \neq 0$ : $H = \frac{3V}{\pi r^2}$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Ułamek $\frac{1}{3}$ usuwamy, mnożąc przez $3$ , a nie dzieląc. Trójka trafia do licznika.
C
$\pi r^2$ mnoży $H$ , więc trzeba przez nie podzielić, a nie je odjąć.
D
Odwrócony ułamek. Sprawdź na liczbach: dla $r = 1$ , $H = 3$ jest $V = \pi$ , a $\frac{\pi}{3\pi} \neq 3$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Zadanie 7

1 pkt

Z równania $3x - 2y = 8$ wyznacz $y$ . Wpisz wzór, w którym występuje tylko $x$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

y =

\frac{3x - 8}{2}

Rozwiązanie

$-2y = 8 - 3x$ .
$y = \frac{8 - 3x}{-2} = \frac{3x - 8}{2} = \frac{3}{2}x - 4$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Zadanie 8

1 pkt

Trapez ma pole $42$ , jedną podstawę $a = 5$ i wysokość $h = 6$ . Oblicz długość drugiej podstawy $b$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

b =

9

Rozwiązanie

$b = \frac{2P}{h} - a = \frac{84}{6} - 5 = 14 - 5 = 9$ .
Sprawdzenie: $\frac{(5 + 9) \cdot 6}{2} = 42$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff ad = bc \quad (b \neq 0,\ d \neq 0)$: mnożenie na krzyż, tylko w dziedzinie
$D = \mathbb{R} \setminus \{\text{zera mianowników}\}$: dziedzinę wyznaczasz przed rozwiązywaniem, sprawdzasz na końcu
$x^2 = 2x \;\not\Rightarrow\; x = 2$: dzielenie przez wyrażenie, które może być zerem, gubi rozwiązania
$x = -3 \;\Rightarrow\; x^2 = 9, \ \text{ale nie odwrotnie}$: podnoszenie do kwadratu może dodać rozwiązania
$P = \frac{(a + b)h}{2} \iff h = \frac{2P}{a + b}$: we wzorze inne litery traktuj jak liczby

Wygląd i czytelność

Przekształcenia równoważne i proporcje

Co to jest przekształcenie równoważne

Zadanie 1

Niewiadoma w mianowniku: najpierw dziedzina

Zadanie 2

Równanie jako proporcja

Przykład Proporcja, z której wychodzi równanie kwadratowe

Zadanie 3

Zadanie 4

Rozwiązanie spoza dziedziny

Przykład Jedno z rozwiązań odpada

Zadanie 5

Przekształcanie wzorów

Przykład Wzór na pole trapezu

Zadanie 6

Zadanie 7

Zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

1Co to jest przekształcenie równoważne

Zadanie 1

2Niewiadoma w mianowniku: najpierw dziedzina

Zadanie 2

3Równanie jako proporcja

Przykład Proporcja, z której wychodzi równanie kwadratowe

Zadanie 3

Zadanie 4

4Rozwiązanie spoza dziedziny

Przykład Jedno z rozwiązań odpada

Zadanie 5

5Przekształcanie wzorów

Przykład Wzór na pole trapezu

Zadanie 6

Zadanie 7

Zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

Co to jest przekształcenie równoważne

Niewiadoma w mianowniku: najpierw dziedzina

Równanie jako proporcja

Rozwiązanie spoza dziedziny

Przekształcanie wzorów