Zbiory liczbowe i działania na liczbach rzeczywistych

To fundament pod cały dział liczb: które liczby są wymierne, a które nie, w jakiej kolejności liczyć, jak zaokrąglać i jak zapisać bardzo dużą albo bardzo małą liczbę. Na maturze rzadko jest to osobne zadanie, ale błąd w kolejności działań albo w potędze dziesiątki potrafi zabrać punkt w każdym dziale.

Dział I: Liczby rzeczywiste. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 35 minut, 3 przykłady i 9 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: 5 października 2026.

Po tym poradniku:

rozpoznajesz, do których zbiorów $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , $\mathbb{R}$ należy liczba, i odróżniasz liczby wymierne od niewymiernych
liczysz wartość wyrażenia z ułamkami zwykłymi i dziesiętnymi w dobrej kolejności
zapisujesz liczby w notacji wykładniczej i wykonujesz na nich działania
zaokrąglasz liczby z zadaną dokładnością

Od liczb naturalnych do rzeczywistych

Każdy kolejny zbiór zawiera poprzedni:

$\mathbb{N}$ , liczby naturalne: $0, 1, 2, 3, \ldots$ (w polskiej szkole zero zalicza się do naturalnych);
$\mathbb{Z}$ , liczby całkowite: naturalne i przeciwne do nich, $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ ;
$\mathbb{Q}$ , liczby wymierne: ilorazy $\frac{p}{q}$ , gdzie $p, q$ są całkowite i $q \neq 0$ ;
$\mathbb{R}$ , liczby rzeczywiste: wszystkie liczby z osi liczbowej.

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}

Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, to liczby niewymierne, np. $\sqrt{2}$ , $\sqrt{3}$ , $\pi$ . Poznasz je po rozwinięciu dziesiętnym: liczba wymierna ma rozwinięcie skończone ( $0{,}25$ ) albo okresowe ( $0{,}(3) = \frac{1}{3}$ ), a niewymierna nieskończone i nieokresowe ( $\sqrt{2} = 1{,}41421\ldots$ ).

Zadanie 1

2 pkt

Oceń prawdziwość zdań.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

$\sqrt{49}$ jest liczbą niewymierną.
$0{,}(6)$ jest liczbą wymierną.
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}$ jest liczbą wymierną.
$-7 \in \mathbb{N}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$\sqrt{49}$ jest liczbą niewymierną.: F (fałsz)
$0{,}(6)$ jest liczbą wymierną.: P (prawda)
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{18}$ jest liczbą wymierną.: P (prawda)
$-7 \in \mathbb{N}$ : F (fałsz)

Rozwiązanie

Upraszczaj pierwiastki i iloczyny przed oceną: $\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt{2 \cdot 18} = 6$ .
Rozwinięcie okresowe to liczba wymierna, a liczby ujemne nie należą do $\mathbb{N}$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Zadanie 2

1 pkt

Liczbą niewymierną jest:

A.
$\sqrt{2} + 1$
B.
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}$
C.
$\left(\sqrt{5}\right)^2$
D.
$1{,}(21)$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $\sqrt{2} + 1$

Rozwiązanie

$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = 2$ , $(\sqrt{5})^2 = 5$ , $1{,}(21) = \frac{40}{33}$ : wszystkie wymierne.
Zostaje $\sqrt{2} + 1$ : suma liczby niewymiernej i wymiernej jest niewymierna.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2$ . Najpierw uprość, potem oceniaj.
C
Kwadrat pierwiastka kwadratowego z $5$ to po prostu $5$ .
D
Rozwinięcie okresowe, więc liczba wymierna: $1{,}(21) = \frac{40}{33}$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Przykład Wymierna czy nie? Najpierw policz

Rozstrzygnij, które z liczb są wymierne: $a = \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}, \qquad b = \sqrt{8} + \sqrt{2}, \qquad c = (\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1), \qquad d = (1 - \sqrt{3})^2$

$a = \sqrt{\frac{50}{2}} = \hl{\sqrt{25}} = 5$ , więc $a \in \mathbb{Q}$ .
Komentarz:
Iloraz pierwiastków to pierwiastek z ilorazu. Dopiero po uproszczeniu widać, co to za liczba.
$b = \hl{2\sqrt{2}} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ . To niewymierna liczba $\sqrt{2}$ razy $3$ , więc $b \notin \mathbb{Q}$ .
Komentarz:
$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ : wyłączasz kwadrat spod pierwiastka.
$c$ : mnożysz każdy wyraz przez każdy. $c = 3 + \hl{\sqrt{3} - \sqrt{3}} - 1 = 2$ , więc $c \in \mathbb{Q}$ .
Komentarz:
Wyrazy z pierwiastkiem się redukują. Tak działa każdy iloczyn $(\sqrt{a} - b)(\sqrt{a} + b)$ .
$d = (1 - \sqrt{3})(1 - \sqrt{3}) = 1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3 = 4 \hl{- 2\sqrt{3}}$ , więc $d \notin \mathbb{Q}$ .
Komentarz:
Tu wyrazy z pierwiastkiem się dodają, a nie redukują. To przez $-2\sqrt{3}$ liczba jest niewymierna.
Typowy błąd
Źle:
$d = (1 - \sqrt{3})^2 = \pen{1 - 3} = -2$ , więc $d \in \mathbb{Q}$ .
Co poszło nie tak:
Do kwadratu podniesiony jest każdy wyraz osobno. Kwadrat nawiasu to nawias razy nawias: gubisz wtedy $-2\sqrt{3}$ .
Wymierne są $a$ i $c$ .

Zadanie 3

2 pkt

Oceń prawdziwość zdań.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$ jest liczbą wymierną.
$(2 - \sqrt{3})^2$ jest liczbą wymierną.
Suma dwóch liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.
$\sqrt{0{,}16}$ jest liczbą wymierną.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)$ jest liczbą wymierną.: P (prawda)
$(2 - \sqrt{3})^2$ jest liczbą wymierną.: F (fałsz)
Suma dwóch liczb niewymiernych jest zawsze liczbą niewymierną.: F (fałsz)
$\sqrt{0{,}16}$ jest liczbą wymierną.: P (prawda)

Rozwiązanie

Każdą liczbę najpierw upraszczasz, mnożąc nawiasy wyraz po wyrazie: $(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2) = 1$ , a $(2 - \sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$ .
Zdanie ogólne obalasz jednym kontrprzykładem: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0$ .
$\sqrt{0{,}16} = 0{,}4$ . Prawdziwe są zdania pierwsze i czwarte.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Kolejność działań na ułamkach

Kolejność działań:

nawiasy (od najbardziej wewnętrznego);
potęgi i pierwiastki;
mnożenie i dzielenie, od lewej do prawej;
dodawanie i odejmowanie, od lewej do prawej.

Gdy w jednym wyrażeniu są ułamki zwykłe i dziesiętne, zamień wszystko na jeden rodzaj. Zwykle łatwiej na zwykłe: $0{,}5 = \frac{1}{2}$ , $0{,}25 = \frac{1}{4}$ , $0{,}2 = \frac{1}{5}$ , $0{,}75 = \frac{3}{4}$ . Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład Ułamki zwykłe i dziesiętne w jednym wyrażeniu

Oblicz $\left(\frac{3}{4} - 0{,}5\right) : \frac{5}{8} + 2 \cdot 0{,}3$

Nawias: $0{,}5 = \frac{1}{2} = \frac{2}{4}$ , więc $\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ .
Dzielenie: $\frac{1}{4} : \frac{5}{8} = \frac{1}{4} \cdot \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$ .
Mnożenie: $2 \cdot 0{,}3 = 0{,}6 = \frac{3}{5}$ .
Dodawanie na końcu: $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1$ .

Zadanie 4

1 pkt

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{2}{5} + 1{,}2 : \frac{3}{4} - 0{,}5^2$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

wartość::

1{,}75

Rozwiązanie

$0{,}5^2 = 0{,}25$ .
$1{,}2 : \frac{3}{4} = \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ .
$0{,}4 + 1{,}6 - 0{,}25 = 1{,}75$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Zadanie 5

1 pkt

Wartość wyrażenia $12 - 8 : 4 \cdot 2 + (-2)^2$ jest równa:

A.
$12$
B.
$15$
C.
$4$
D.
$6$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $12$

Rozwiązanie

Potęga: $(-2)^2 = 4$ .
Dzielenie i mnożenie od lewej: $8 : 4 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ .
$12 - 4 + 4 = 12$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Najpierw policzone jest $4 \cdot 2$ , a potem $8 : 8 = 1$ . Mnożenie i dzielenie liczysz od lewej: $8 : 4 = 2$ , potem $2 \cdot 2 = 4$ .
C
$(-2)^2$ potraktowane jak $-2^2 = -4$ . Nawias sprawia, że do kwadratu podnosisz $-2$ , więc wynik to $4$ .
D
Odejmowanie wykonane przed dzieleniem: $(12 - 8) : 4 \cdot 2 + 4$ . Dzielenie i mnożenie mają pierwszeństwo przed odejmowaniem.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

1 pkt

Wartość wyrażenia $\left(1\frac{1}{2} - \frac{2}{3}\right) \cdot 1{,}2 - 0{,}4^2$ jest równa:

A.
$0{,}84$
B.
$0{,}2$
C.
$0{,}54$
D.
$-0{,}36$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $0{,}84$

Rozwiązanie

Nawias: $1\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5}{6}$ .
Mnożenie: $\frac{5}{6} \cdot 1{,}2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5} = 1$ .
Potęga: $0{,}4^2 = 0{,}16$ , więc wynik to $1 - 0{,}16 = 0{,}84$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
$0{,}4^2$ policzone jak $0{,}4 \cdot 2 = 0{,}8$ . Kwadrat to $0{,}4 \cdot 0{,}4 = 0{,}16$ .
C
Nawias pominięty: najpierw $\frac{2}{3} \cdot 1{,}2$ , a potem odejmowanie od $1\frac{1}{2}$ . Nawias liczysz przed mnożeniem.
D
Liczba mieszana $1\frac{1}{2}$ potraktowana jak $1 \cdot \frac{1}{2}$ . To $1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Notacja wykładnicza

Bardzo duże i bardzo małe liczby zapisujemy w postaci $a \cdot 10^k, \quad \text{gdzie } 1 \leq a < 10, \ k \in \mathbb{Z}$

$350\,000 = 3{,}5 \cdot 10^5$ : przecinek przesuwasz o $5$ miejsc w lewo, więc $k = 5$ ;
$0{,}00042 = 4{,}2 \cdot 10^{-4}$ : przecinek przesuwasz o $4$ miejsca w prawo, więc $k = -4$ .

Przy mnożeniu mnożysz liczby przed potęgami, a wykładniki dodajesz. Na końcu poprawiasz zapis tak, żeby $a$ było z przedziału $\langle 1; 10)$ : $(3 \cdot 10^4) \cdot (5 \cdot 10^{-7}) = 15 \cdot 10^{-3} = 1{,}5 \cdot 10^{-2}$

Przykład Mnożenie i dzielenie w notacji wykładniczej

Oblicz i zapisz wynik w notacji wykładniczej: $\frac{4{,}8 \cdot 10^{7} \cdot 5 \cdot 10^{-3}}{1{,}2 \cdot 10^{2}}$

Liczby przed potęgami: $\frac{4{,}8 \cdot 5}{1{,}2} = \frac{24}{1{,}2} = 20$ .
Potęgi dziesiątki: $\frac{10^7 \cdot 10^{-3}}{10^2} = 10^{7 - 3 - 2} = 10^2$ .
Razem $20 \cdot 10^2$ , ale $20$ nie należy do $\langle 1; 10)$ : $20 = 2 \cdot 10^1$ .
Wynik: $2 \cdot 10^{3}$ , czyli $2000$ .

Zadanie 7

1 pkt

Liczba $0{,}00036$ zapisana w notacji wykładniczej to:

A.
$3{,}6 \cdot 10^{-4}$
B.
$36 \cdot 10^{-5}$
C.
$3{,}6 \cdot 10^{-3}$
D.
$3{,}6 \cdot 10^{4}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $3{,}6 \cdot 10^{-4}$

Rozwiązanie

$0{,}00036 = 3{,}6 : 10\,000 = 3{,}6 \cdot 10^{-4}$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Ta liczba jest równa $0{,}00036$ , ale to nie notacja wykładnicza: $36$ nie należy do $\langle 1; 10)$ .
C
To $0{,}0036$ , liczba dziesięć razy większa. Policz przesunięcie przecinka, a nie same zera po przecinku.
D
Dodatni wykładnik daje liczbę dużą, $36\,000$ . Liczba mniejsza od $1$ ma ujemny wykładnik.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Zadanie 8

2 pkt

Oblicz $\left(2{,}5 \cdot 10^{-3}\right) \cdot \left(8 \cdot 10^{7}\right)$ i zapisz wynik w notacji wykładniczej $a \cdot 10^k$ , gdzie $1 \leq a < 10$ . Podaj $a$ i $k$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$a =$ $2$
$k =$ $5$

Rozwiązanie

$2{,}5 \cdot 8 = 20$ , a $10^{-3} \cdot 10^{7} = 10^{-3 + 7} = 10^4$ .
$20 \cdot 10^4 = 2 \cdot 10^1 \cdot 10^4 = 2 \cdot 10^5$ .
$a = 2$ , $k = 5$ . Sprawdzenie: $0{,}0025 \cdot 80\,000\,000 = 200\,000$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Zaokrąglenia

Zaokrąglając, patrzysz na pierwszą odrzucaną cyfrę: jeśli jest równa $5$ lub większa, zwiększasz ostatnią zostawianą cyfrę o $1$ ; jeśli mniejsza, zostawiasz ją bez zmian. Przykłady do części setnych: $3{,}14159 \approx 3{,}14$ , $2{,}675 \approx 2{,}68$ , $\frac{2}{3} = 0{,}666\ldots \approx 0{,}67$ .

Zadanie 9

2 pkt

Zaokrąglij liczbę $7{,}846$ do części dziesiątych, a potem do części setnych.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

do części dziesiątych:: $7{,}8$
do części setnych:: $7{,}85$

Rozwiązanie

Do części dziesiątych: pierwsza odrzucana cyfra to $4 < 5$ , więc $7{,}846 \approx 7{,}8$ .
Do części setnych: pierwsza odrzucana cyfra to $6 \geq 5$ , więc zaokrąglasz w górę: $7{,}846 \approx 7{,}85$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 9

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$: zbiory liczbowe
$\mathbb{Q}: \ \tfrac{p}{q}, \ p, q \in \mathbb{Z}, \ q \neq 0$: wymierne: rozwinięcie skończone lub okresowe
$\sqrt{2}, \ \sqrt{3}, \ \pi \notin \mathbb{Q}$: przykłady liczb niewymiernych
$a \cdot 10^k, \quad 1 \leq a < 10, \ k \in \mathbb{Z}$: notacja wykładnicza

Wygląd i czytelność

Zbiory liczbowe i działania na liczbach rzeczywistych

Od liczb naturalnych do rzeczywistych

Zadanie 1

Zadanie 2

Przykład Wymierna czy nie? Najpierw policz

Zadanie 3

Kolejność działań na ułamkach

Przykład Ułamki zwykłe i dziesiętne w jednym wyrażeniu

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

Notacja wykładnicza

Przykład Mnożenie i dzielenie w notacji wykładniczej

Zadanie 7

Zadanie 8

Zaokrąglenia

Zadanie 9

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

1Od liczb naturalnych do rzeczywistych

Zadanie 1

Zadanie 2

Przykład Wymierna czy nie? Najpierw policz

Zadanie 3

2Kolejność działań na ułamkach

Przykład Ułamki zwykłe i dziesiętne w jednym wyrażeniu

Zadanie 4

Zadanie 5

Zadanie 6

3Notacja wykładnicza

Przykład Mnożenie i dzielenie w notacji wykładniczej

Zadanie 7

Zadanie 8

4Zaokrąglenia

Zadanie 9

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

Od liczb naturalnych do rzeczywistych

Kolejność działań na ułamkach

Notacja wykładnicza

Zaokrąglenia