skumane

Wygląd i czytelność

JasnyCiemnyJak w systemie
ZwykłyWysoki
StandardowyCzytelnySzeroki

„Czytelny” (Atkinson Hyperlegible) ma wyraźnie różne litery, np. l, I i 1. „Szeroki” (Lexend) ma więcej miejsca między literami.

AAAA
ZwykłeWiększe
WłączoneOgraniczone

Przykład: wierzchołek paraboli leży w punkcie W = (p, q). Sprawdź, czy tak czyta się wygodnie.

Zacznij za darmo

Wzory skróconego mnożenia

Trzy wzory, które pojawiają się na maturze co roku: raz jako osobne zadanie zamknięte, a potem jako narzędzie w funkcji kwadratowej, pierwiastkach i wyrażeniach wymiernych. Nauczysz się ich używać w obie strony: rozwijać nawias do sumy i rozpoznawać w sumie gotowy kwadrat. I raz na zawsze pożegnasz błąd (a+b)2=a2+b2(a + b)^2 = a^2 + b^2.

Dział II: Wyrażenia algebraiczne. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 45 minut, 3 przykłady i 8 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: .

Po tym poradniku:

  • rozwijasz (a+b)2(a + b)^2, (a−b)2(a - b)^2 i (a−b)(a+b)(a - b)(a + b) bez zgubienia wyrazu 2ab2ab
  • rozpoznajesz wzór „od tyłu”, np. x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 i x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
  • upraszczasz wyrażenia z pierwiastkami, np. (3−1)2(\sqrt{3} - 1)^2
  • liczysz wartość wyrażenia sprytnie, zwijając je najpierw do kwadratu

Trzy wzory

Kwadrat to mnożenie przez siebie: (a+b)2=(a+b)(a+b)(a + b)^2 = (a + b)(a + b). Mnożysz każdy wyraz przez każdy:

(a+b)(a+b)=a2+ab+ba+b2=a2+2ab+b2(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2

Środkowe wyrazy abab i baba są takie same, więc dają podwojony iloczyn 2ab2ab. Tak powstają trzy wzory, których używa się bez przerwy:

(a+b)2=a2+2ab+b2(a−b)2=a2−2ab+b2(a−b)(a+b)=a2−b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \qquad (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \qquad (a - b)(a + b) = a^2 - b^2
kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów

Wzór na (a+b)2(a + b)^2 widać na rysunku: kwadrat o boku a+ba + b składa się z czterech kawałków, a przyciskiem „Następny krok” dokładasz je po kolei.

Za aa i bb możesz wstawić cokolwiek: liczbę, xx, 3x3x, 2\sqrt{2}. Jeśli wyraz ma współczynnik, podnosisz do kwadratu cały wyraz, razem z liczbą:

(3x−2)2=(3x)2−2⋅3x⋅2+22=9x2−12x+4(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4

Częsty błąd to (3x)2=3x2(3x)^2 = 3x^2. Tymczasem (3x)2=3x⋅3x=9x2(3x)^2 = 3x \cdot 3x = 9x^2.

Zadanie 1

1 pkt

Wyrażenie (x−4)2(x - 4)^2 jest równe:

  • A.
    x2−8x+16x^2 - 8x + 16
  • B.
    x2−16x^2 - 16
  • C.
    x2−8x−16x^2 - 8x - 16
  • D.
    x2−4x+16x^2 - 4x + 16
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 1
Odpowiedź:
A. x2−8x+16x^2 - 8x + 16

Rozwiązanie

  1. (x−4)2=x2−2⋅x⋅4+42=x2−8x+16(x - 4)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2 = x^2 - 8x + 16.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Zgubiony środkowy wyraz −2ab=−8x-2ab = -8x. To (x−4)(x+4)(x - 4)(x + 4), a nie (x−4)2(x - 4)^2.
  • C
    Minus przy b2b^2: tymczasem (−4)2=16(-4)^2 = 16, więc ostatni wyraz jest dodatni.
  • D
    Brakuje podwojenia: środkowy wyraz to 2⋅x⋅4=8x2 \cdot x \cdot 4 = 8x, a nie 4x4x.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Zadanie 2

3 pkt

Zapisz każde wyrażenie w postaci sumy, bez nawiasów.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 2

Odpowiedź:

  • (2x−3)2=(2x - 3)^2 = 4x2−12x+94x^{2} - 12x + 9
  • (x+6)2=(x + 6)^2 = x2+12x+36x^{2} + 12x + 36
  • (5x−2)(5x+2)=(5x - 2)(5x + 2) = 25x2−425x^{2} - 4

Rozwiązanie

  1. (2x−3)2=(2x)2−2⋅2x⋅3+32=4x2−12x+9(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9

  2. (x+6)2=x2+2⋅x⋅6+62=x2+12x+36(x + 6)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36

  3. (5x−2)(5x+2)=(5x)2−22=25x2−4(5x - 2)(5x + 2) = (5x)^2 - 2^2 = 25x^2 - 4

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Kwadrat sumy to nie suma kwadratów

xy−4−224246810fg
Ciągła: f(x)=(x+1)2f(x) = (x + 1)^2. Przerywana: g(x)=x2+1g(x) = x^2 + 1. Gdyby (x+1)2(x + 1)^2 było równe x2+1x^2 + 1, wykresy by się pokrywały. A mają tylko jeden punkt wspólny, dla x=0x = 0, bo różnica to właśnie zgubione 2x2x.

Skąd plus przy b2b^2 w kwadracie różnicy? Zobacz na rysunku, że odcinając dwa pasy, róg b×bb \times b odejmujesz dwa razy.

Przykład Rozwijanie z liczbą przed x

Zapisz bez nawiasów: (2x+5)2(2x + 5)^2 oraz (4−3x)2(4 - 3x)^2.

  1. W pierwszym a=2xa = 2x, b=5b = 5. Wstawiamy do wzoru (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2: (2x+5)2=(2x)2+2⋅2x⋅5+52(2x + 5)^2 = \hl{(2x)^2} + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2

    Komentarz:
    aa to cały pierwszy składnik, razem z liczbą przed xx.

  2. Liczymy każdy wyraz osobno: (2x)2+2⋅2x⋅5+52=4x2+20x+25(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = \hl{4x^2} + 20x + 25

    Komentarz:
    Do kwadratu idzie i 22, i xx: (2x)2=22⋅x2(2x)^2 = 2^2 \cdot x^2.

    Typowy błąd

    Źle:
    (2x)2+2⋅2x⋅5+52=2x2+20x+25(2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = \pen{2x^2} + 20x + 25
    Co poszło nie tak:
    Kwadrat objął tylko xx. Sprawdź dla x=1x = 1: (2⋅1)2=4(2 \cdot 1)^2 = 4, a nie 22.

  3. W drugim a=4a = 4, b=3xb = 3x. Kolejność w nawiasie nie przeszkadza: (4−3x)2=42−2⋅4⋅3x+(3x)2=16−24x+9x2(4 - 3x)^2 = 4^2 \hl{- 2 \cdot 4 \cdot 3x} + (3x)^2 = 16 - 24x + 9x^2

    Komentarz:
    Minus stoi tylko przy 2ab2ab. Oba kwadraty są dodatnie.

  4. Zwykle porządkujemy wynik od najwyższej potęgi: 9x2−24x+169x^2 - 24x + 16.

  5. Sprawdzenie dla x=1x = 1: (4−3)2=1(4 - 3)^2 = 1 oraz 9−24+16=19 - 24 + 16 = 1. Zgadza się.

Zadanie 3

2 pkt

Oceń, czy równość jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej xx.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

  1. (x+3)2=x2+9(x + 3)^2 = x^2 + 9
  2. (x−4)2=x2−8x+16(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16
  3. (2x−1)(2x+1)=4x2−1(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1
  4. (x−5)2=x2−10x−25(x - 5)^2 = x^2 - 10x - 25
  5. (−x−2)2=(x+2)2(-x - 2)^2 = (x + 2)^2
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 3

Odpowiedź:

  • (x+3)2=x2+9(x + 3)^2 = x^2 + 9: F (fałsz)
  • (x−4)2=x2−8x+16(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16: P (prawda)
  • (2x−1)(2x+1)=4x2−1(2x - 1)(2x + 1) = 4x^2 - 1: P (prawda)
  • (x−5)2=x2−10x−25(x - 5)^2 = x^2 - 10x - 25: F (fałsz)
  • (−x−2)2=(x+2)2(-x - 2)^2 = (x + 2)^2: P (prawda)

Rozwiązanie

  1. Rozwiń każdą lewą stronę wzorem i porównaj z prawą.

  2. Prawdziwe: druga, trzecia i piąta. W pierwszej zgubiono 6x6x, a w czwartej zły jest znak przy 2525.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

1 pkt

Wyrażenie (x+4)2−(x−4)2(x + 4)^2 - (x - 4)^2 jest równe:

  • A.
    16x16x
  • B.
    00
  • C.
    3232
  • D.
    8x8x
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 4
Odpowiedź:
A. 16x16x

Rozwiązanie

  1. (x+4)2=x2+8x+16(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 oraz (x−4)2=x2−8x+16(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16.

  2. Odejmujemy, zmieniając znaki w drugim nawiasie: x2+8x+16−x2+8x−16=16xx^2 + 8x + 16 - x^2 + 8x - 16 = 16x

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Tak wychodzi, gdy oba kwadraty zapisze się jako x2+16x^2 + 16, czyli bez wyrazu 2ab2ab.
  • C
    Minus przed nawiasem zmienia znak każdego wyrazu. Tu zmieniono go tylko przy x2x^2, a −8x-8x i +16+16 zostały bez zmiany: x2+8x+16−x2−8x+16=32x^2 + 8x + 16 - x^2 - 8x + 16 = 32.
  • D
    Środkowy wyraz to 2⋅x⋅4=8x2 \cdot x \cdot 4 = 8x, nie 4x4x. Zabrakło dwójki z 2ab2ab.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Wzór od tyłu: rozpoznaj kwadrat

Na maturze częściej trzeba iść w drugą stronę: z sumy zrobić iloczyn. Przyda się to w równaniach, w funkcji kwadratowej i przy skracaniu ułamków.

Jak rozpoznać kwadrat, np. w x2−6x+9x^2 - 6x + 9?

  • pierwszy i ostatni wyraz są kwadratami: x2=(x)2x^2 = (x)^2 i 9=329 = 3^2, więc a=xa = x, b=3b = 3;
  • środkowy wyraz musi być równy 2ab=2⋅x⋅3=6x2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x. Jest −6x-6x, więc to kwadrat różnicy;
  • wynik: x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2.

Różnicę kwadratów rozpoznajesz jeszcze łatwiej: dwa kwadraty i minus między nimi, np. x2−25=(x−5)(x+5)x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).

Dlaczego a2−b2a^2 - b^2 to iloczyn (a−b)(a+b)(a - b)(a + b)? Rozetnij kwadrat z wyciętym rogiem i złóż z kawałków prostokąt.

Przykład Zwijanie do wzoru

Zapisz w postaci iloczynu: 4x2+20x+254x^2 + 20x + 25 oraz 9x2−169x^2 - 16.

  1. 4x2=(2x)24x^2 = (2x)^2 i 25=5225 = 5^2, więc kandydat to (2x+5)2(2x + 5)^2.

  2. Sprawdzamy środek: 2⋅2x⋅5=20x2 \cdot 2x \cdot 5 = 20x. Zgadza się, więc 4x2+20x+25=(2x+5)24x^2 + 20x + 25 = (2x + 5)^2.

  3. 9x2=(3x)29x^2 = (3x)^2 i 16=4216 = 4^2, a między nimi minus. To różnica kwadratów: 9x2−16=(3x−4)(3x+4)9x^2 - 16 = (3x - 4)(3x + 4)

Zadanie 5

2 pkt

Zapisz każde wyrażenie w postaci iloczynu, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 5

Odpowiedź:

  • x2−14x+49=x^2 - 14x + 49 = (x−7)2\left(x - 7\right)^{2}
  • 36x2−25=36x^2 - 25 = (6x−5)(6x+5)\left(6x - 5\right)\left(6x + 5\right)

Rozwiązanie

  1. x2−14x+49=x2−2⋅x⋅7+72=(x−7)2x^2 - 14x + 49 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2

  2. 36x2−25=(6x)2−52=(6x−5)(6x+5)36x^2 - 25 = (6x)^2 - 5^2 = (6x - 5)(6x + 5)

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

1 pkt

Oblicz wartość wyrażenia x2−6x+9x^2 - 6x + 9 dla x=3−6x = 3 - \sqrt{6}.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 6
Odpowiedź:
wartość:: 66

Rozwiązanie

  1. Zwijamy: x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2.

  2. Dla x=3−6x = 3 - \sqrt{6} jest x−3=−6x - 3 = -\sqrt{6}, więc (x−3)2=(−6)2=6(x - 3)^2 = \left(-\sqrt{6}\right)^2 = 6

  3. Wstawianie wprost też działa, ale jest dłuższe i łatwo tam o błąd.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Wzory z pierwiastkami

Te same wzory działają dla pierwiastków. Przyda się jedna rzecz: (a)2=a\left(\sqrt{a}\right)^2 = a.

(3−1)2=3−23+1=4−23\left(\sqrt{3} - 1\right)^2 = 3 - 2\sqrt{3} + 1 = 4 - 2\sqrt{3}

Różnica kwadratów usuwa pierwiastki w ogóle, dlatego tak często się jej używa:

(5−2)(5+2)=5−2=3\left(\sqrt{5} - \sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5} + \sqrt{2}\right) = 5 - 2 = 3

Przykład Kwadrat różnicy i różnica kwadratów z pierwiastkami

Oblicz (23−2)2\left(2\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^2 oraz (3−7)(3+7)\left(3 - \sqrt{7}\right)\left(3 + \sqrt{7}\right).

  1. Pierwsze to kwadrat różnicy, a=23a = 2\sqrt{3}, b=2b = \sqrt{2}: (23−2)2=(23)2−2⋅23⋅2+(2)2\left(2\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^2 = \left(2\sqrt{3}\right)^2 \hl{- 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} + \left(\sqrt{2}\right)^2

    Komentarz:
    Trzy wyrazy, jak przy zwykłych liczbach. Środkowy 2ab2ab nie znika tylko dlatego, że są pierwiastki.

    Typowy błąd

    Źle:
    (23−2)2=(23)2−(2)2=12−2=10\left(2\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^2 = \pen{\left(2\sqrt{3}\right)^2 - \left(\sqrt{2}\right)^2} = 12 - 2 = 10
    Co poszło nie tak:
    Zgubione 2ab2ab: kwadrat różnicy to nie różnica kwadratów. Wynik 1010 jest zły, bo naprawdę wychodzi ok. 4,24{,}2.

  2. Kwadraty: (23)2=4⋅3=12,(2)2=2\left(2\sqrt{3}\right)^2 = 4 \cdot 3 = \hl{12}, \quad \left(\sqrt{2}\right)^2 = \hl{2}

    Komentarz:
    Do kwadratu idzie i 22, i 3\sqrt{3}.

  3. Środek: 2⋅23⋅2=43⋅2=462 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{3 \cdot 2} = \hl{4\sqrt{6}}.

  4. Składamy: (23−2)2=12−46+2=14−46\left(2\sqrt{3} - \sqrt{2}\right)^2 = 12 - 4\sqrt{6} + 2 = \hl{14 - 4\sqrt{6}}

  5. Drugie to różnica kwadratów: 32−(7)2=9−7=23^2 - \left(\sqrt{7}\right)^2 = 9 - 7 = 2.

Zadanie 7

1 pkt

Liczba (5−2)2\left(\sqrt{5} - 2\right)^2 jest równa:

  • A.
    9−459 - 4\sqrt{5}
  • B.
    11
  • C.
    99
  • D.
    1−451 - 4\sqrt{5}
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 7
Odpowiedź:
A. 9−459 - 4\sqrt{5}

Rozwiązanie

  1. a=5a = \sqrt{5}, b=2b = 2: (5−2)2=5−45+4=9−45\left(\sqrt{5} - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    To 5−45 - 4, czyli a2−b2a^2 - b^2. Kwadrat różnicy pomylono z różnicą kwadratów.
  • C
    To a2+b2=5+4a^2 + b^2 = 5 + 4. Zgubiony środkowy wyraz −2ab=−45-2ab = -4\sqrt{5}.
  • D
    Na końcu jest +b2=+4+b^2 = +4, a nie −4-4. W kwadracie różnicy minus stoi tylko przy 2ab2ab.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Zadanie 8

2 pkt

Liczbę (23+1)2\left(2\sqrt{3} + 1\right)^2 zapisano w postaci a+b3a + b\sqrt{3}, gdzie aa i bb są liczbami całkowitymi. Podaj aa i bb.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 8

Odpowiedź:

  • a=a = 1313
  • b=b = 44

Rozwiązanie

  1. (23+1)2=12+43+1=13+43\left(2\sqrt{3} + 1\right)^2 = 12 + 4\sqrt{3} + 1 = 13 + 4\sqrt{3}

  2. Stąd a=13a = 13 i b=4b = 4.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
kwadrat sumy: nie zapominaj o 2ab
(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
kwadrat różnicy: na końcu zawsze plus
(a−b)(a+b)=a2−b2(a - b)(a + b) = a^2 - b^2
różnica kwadratów, także od tyłu: x² − 25 = (x − 5)(x + 5)
(3x)2=9x2,(a)2=a(3x)^2 = 9x^2, \quad \left(\sqrt{a}\right)^2 = a
do kwadratu podnosisz cały wyraz, z liczbą
x2−6x+9=(x−3)2x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2
kwadrat rozpoznasz po środkowym wyrazie 2ab

Inne poradniki

Wszystkie poradniki