skumane

Wygląd i czytelność

JasnyCiemnyJak w systemie
ZwykłyWysoki
StandardowyCzytelnySzeroki

„Czytelny” (Atkinson Hyperlegible) ma wyraźnie różne litery, np. l, I i 1. „Szeroki” (Lexend) ma więcej miejsca między literami.

AAAA
ZwykłeWiększe
WłączoneOgraniczone

Przykład: wierzchołek paraboli leży w punkcie W = (p, q). Sprawdź, czy tak czyta się wygodnie.

Zacznij za darmo

Pojęcie ciągu i wzór ogólny

Ciąg to po prostu ponumerowana lista liczb: pierwsza, druga, trzecia i tak dalej. Matematycznie to funkcja, która numerowi nn przypisuje liczbę ana_n. Ten rozdział to pewne punkty na maturze: liczysz wyrazy ze wzoru, sprawdzasz, który wyraz ma daną wartość, i liczysz wyrazy dodatnie albo ujemne. Jedna rzecz odróżnia ciągi od zwykłych funkcji: numer nn musi być liczbą naturalną dodatnią.

Dział VI: Ciągi. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 35 minut, 3 przykłady i 7 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: .

Po tym poradniku:

  • rozumiesz, że ciąg to funkcja określona na liczbach n=1,2,3,…n = 1, 2, 3, \ldots
  • obliczasz dowolny wyraz ze wzoru ogólnego, także an+1a_{n+1}
  • sprawdzasz, który wyraz ciągu jest równy danej liczbie, albo że takiego wyrazu nie ma
  • liczysz wyrazy dodatnie i ujemne ciągu
  • czytasz wykres ciągu: osobne punkty, bez linii

Ciąg to funkcja numeru

Ciąg liczbowy to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych dodatnich N+={1,2,3,…}\mathbb{N}_+ = \{1, 2, 3, \ldots\}. Zamiast f(n)f(n) piszemy ana_n i czytamy „aa enty”.

  • a1a_1 to pierwszy wyraz, a2a_2 drugi, a10a_{10} dziesiąty.
  • nn to numer wyrazu (wskaźnik), a ana_n to jego wartość.
  • Wzór, który mówi, jak policzyć ana_n dla dowolnego nn, to wzór ogólny ciągu.

Przykład: an=3n−1a_n = 3n - 1. Wstawiasz kolejne numery:

a1=2,a2=5,a3=8,a4=11,…a_1 = 2, \quad a_2 = 5, \quad a_3 = 8, \quad a_4 = 11, \quad \ldots

Numer jest zawsze liczbą całkowitą dodatnią. Nie ma wyrazu a0a_0, a−3a_{-3} ani a2,5a_{2{,}5}. To będzie ważne za chwilę, gdy będziemy rozwiązywać równania, w których niewiadomą jest nn.

Wyrazy ze wzoru ogólnego

Wyraz liczysz tak, jak wartość funkcji: w miejsce nn wstawiasz numer. Uważaj w dwóch miejscach:

  • (−1)n(-1)^n jest równe 11 dla parzystych nn i −1-1 dla nieparzystych. Takie wzory dają ciągi, w których znaki się przeplatają.
  • an+1a_{n+1} to wyraz o numerze n+1n + 1. Wstawiasz całe n+1n + 1 w miejsce każdego nn we wzorze. To nie to samo co an+1a_n + 1.

Przykład Wyrazy ciągu ze znakiem (−1)ⁿ

Ciąg jest określony wzorem an=(−1)n⋅(n−4)a_n = (-1)^n \cdot (n - 4) dla n≥1n \geq 1. Oblicz a1a_1, a2a_2 i a10a_{10}.

  1. n=1n = 1: (−1)1=−1(-1)^1 = -1, więc a1=−1⋅(1−4)=−1⋅(−3)=3a_1 = -1 \cdot (1 - 4) = -1 \cdot (-3) = 3.

  2. n=2n = 2: (−1)2=1(-1)^2 = 1, więc a2=1⋅(2−4)=−2a_2 = 1 \cdot (2 - 4) = -2.

  3. n=10n = 10: dziesięć jest parzyste, więc (−1)10=1(-1)^{10} = 1 i a10=10−4=6a_{10} = 10 - 4 = 6.

  4. Odpowiedź: a1=3a_1 = 3, a2=−2a_2 = -2, a10=6a_{10} = 6. Znak (−1)n(-1)^n ustalasz najpierw, dopiero potem mnożysz.

Zadanie 1

1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=n2−4n+1a_n = n^2 - 4n + 1 dla n≥1n \geq 1. Oblicz a1a_1 i a5a_5.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 1

Odpowiedź:

  • a1=a_1 = −2-2
  • a5=a_5 = 66

Rozwiązanie

  1. a1=12−4⋅1+1=−2a_1 = 1^2 - 4 \cdot 1 + 1 = -2.

  2. a5=52−4⋅5+1=25−20+1=6a_5 = 5^2 - 4 \cdot 5 + 1 = 25 - 20 + 1 = 6.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Zadanie 2

1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=n2+2a_n = n^2 + 2 dla n≥1n \geq 1. Wyraz an+1a_{n+1} jest równy:

  • A.
    n2+2n+3n^2 + 2n + 3
  • B.
    n2+3n^2 + 3
  • C.
    n2+2n+1n^2 + 2n + 1
  • D.
    2n+32n + 3
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 2
Odpowiedź:
A. n2+2n+3n^2 + 2n + 3

Rozwiązanie

  1. W miejsce nn wstawiamy n+1n + 1: an+1=(n+1)2+2a_{n+1} = (n + 1)^2 + 2.

  2. (n+1)2+2=n2+2n+1+2=n2+2n+3(n + 1)^2 + 2 = n^2 + 2n + 1 + 2 = n^2 + 2n + 3

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    To jest an+1a_n + 1: jedynka dodana na końcu zamiast wstawienia n+1n + 1 w miejsce nn.
  • C
    To tylko (n+1)2(n + 1)^2. Zgubione +2+2 ze wzoru.
  • D
    Zgubione n2n^2 po rozwinięciu nawiasu: (n+1)2=n2+2n+1(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1, a nie 2n+12n + 1.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Który wyraz ma daną wartość

Pytanie „który wyraz ciągu jest równy kk?” to równanie an=ka_n = k z niewiadomą nn. Rozwiązujesz je jak zwykłe równanie, a na końcu sprawdzasz, czy nn jest liczbą naturalną dodatnią.

  • Wyszło n=8n = 8: to ósmy wyraz.
  • Wyszło n=−2n = -2, n=0n = 0 albo n=4,5n = 4{,}5: takiego wyrazu nie ma, to rozwiązanie odrzucasz.
  • Żadne rozwiązanie nie jest naturalne dodatnie: liczba kk nie jest wyrazem tego ciągu.

Przykład Który wyraz, a który nie

Ciąg jest określony wzorem an=n2−6na_n = n^2 - 6n dla n≥1n \geq 1. Który wyraz tego ciągu jest równy 1616? Czy liczba 1010 jest wyrazem tego ciągu?

  1. Równanie an=16a_n = 16: n2−6n=16  ⇒  n2−6n−16=0n^2 - 6n = 16 \;\Rightarrow\; n^2 - 6n - 16 = 0

  2. Δ=36+64=100\Delta = 36 + 64 = 100, Δ=10\sqrt{\Delta} = 10, więc n=6+102=8n = \frac{6 + 10}{2} = 8 albo n=6−102=−2n = \frac{6 - 10}{2} = -2.

  3. n=−2n = -2 nie jest numerem wyrazu, odrzucamy. Zostaje n=8n = 8: szesnastką jest ósmy wyraz. Sprawdzenie: a8=64−48=16a_8 = 64 - 48 = 16.

  4. Równanie an=10a_n = 10: n2−6n−10=0n^2 - 6n - 10 = 0, Δ=36+40=76\Delta = 36 + 40 = 76. Liczba 7676 nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc nn wychodzi niewymierne.

  5. Odpowiedź: a8=16a_8 = 16, a liczba 1010 nie jest wyrazem tego ciągu.

Zadanie 3

1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=4n−9a_n = 4n - 9 dla n≥1n \geq 1. Który wyraz tego ciągu jest równy 5151? Podaj jego numer.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 3
Odpowiedź:
n=n = 1515

Rozwiązanie

  1. 4n−9=51  ⇒  4n=60  ⇒  n=154n - 9 = 51 \;\Rightarrow\; 4n = 60 \;\Rightarrow\; n = 15

  2. 1515 jest liczbą naturalną dodatnią, więc a15=51a_{15} = 51.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

2 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=n2+3na_n = n^2 + 3n dla n≥1n \geq 1. Oceń, czy podana liczba jest wyrazem tego ciągu.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

  1. Liczba 4040 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).
  2. Liczba 00 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).
  3. Liczba 2020 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).
  4. Liczba 7070 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 4

Odpowiedź:

  • Liczba 4040 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).: P (prawda)
  • Liczba 00 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).: F (fałsz)
  • Liczba 2020 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).: F (fałsz)
  • Liczba 7070 jest wyrazem ciągu (an)(a_n).: P (prawda)

Rozwiązanie

  1. Dla każdej liczby kk rozwiązujemy n2+3n=kn^2 + 3n = k i szukamy rozwiązania naturalnego dodatniego.

  2. Pierwsze wyrazy: 4,10,18,28,40,54,70,…4, 10, 18, 28, 40, 54, 70, \ldots Widać, że 4040 i 7070 są w ciągu, a 00 i 2020 nie.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Ile wyrazów jest dodatnich, a ile ujemnych

Pytanie „ile wyrazów ciągu jest ujemnych?” to nierówność an<0a_n < 0 z niewiadomą nn. Rozwiązujesz ją jak zwykłą nierówność, a potem wypisujesz liczby naturalne dodatnie, które ją spełniają, i je liczysz.

Uwaga na granice: wyraz równy 00 nie jest ani dodatni, ani ujemny.

Przykład Liczba wyrazów ujemnych

Ciąg jest określony wzorem an=2n−23a_n = 2n - 23 dla n≥1n \geq 1. Ile wyrazów tego ciągu jest ujemnych?

  1. Nierówność: 2n−23<0  ⇒  2n<23  ⇒  n<11,52n - 23 < 0 \;\Rightarrow\; 2n < 23 \;\Rightarrow\; n < 11{,}5

  2. Liczby naturalne dodatnie mniejsze od 11,511{,}5 to 1,2,…,111, 2, \ldots, 11.

  3. Sprawdzenie na granicy: a11=22−23=−1<0a_{11} = 22 - 23 = -1 < 0, a a12=24−23=1>0a_{12} = 24 - 23 = 1 > 0.

  4. Odpowiedź: ciąg ma 1111 wyrazów ujemnych.

Zadanie 5

1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=3n−40a_n = 3n - 40 dla n≥1n \geq 1. Ile wyrazów tego ciągu jest ujemnych?

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 5
Odpowiedź:
liczba wyrazów ujemnych:: 1313

Rozwiązanie

  1. 3n−40<0  ⇒  n<403=13133n - 40 < 0 \;\Rightarrow\; n < \frac{40}{3} = 13\tfrac{1}{3}

  2. Pasują n=1,2,…,13n = 1, 2, \ldots, 13, czyli 1313 wyrazów. Sprawdzenie: a13=−1a_{13} = -1, a14=2a_{14} = 2.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

1 pkt

Ciąg (an)(a_n) jest określony wzorem an=−n2+10n−9a_n = -n^2 + 10n - 9 dla n≥1n \geq 1. Ile wyrazów tego ciągu jest dodatnich?

  • A.
    77
  • B.
    99
  • C.
    88
  • D.
    nieskończenie wiele
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 6
Odpowiedź:
A. 77

Rozwiązanie

  1. −n2+10n−9=−(n−1)(n−9)-n^2 + 10n - 9 = -(n - 1)(n - 9), miejsca zerowe 11 i 99, ramiona w dół.

  2. Wyrazy dodatnie dla 1<n<91 < n < 9: n=2,3,4,5,6,7,8n = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Razem 77.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Policzone nn od 11 do 99 razem z końcami. Ale a1=0a_1 = 0 i a9=0a_9 = 0, a zero nie jest dodatnie.
  • C
    Wliczony wyraz a1a_1. Tymczasem a1=−1+10−9=0a_1 = -1 + 10 - 9 = 0, więc nie jest dodatni.
  • D
    Współczynnik przy n2n^2 jest ujemny, więc ramiona paraboli idą w dół. Wartości dodatnie są tylko między miejscami zerowymi.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Wykres ciągu

Wykres ciągu to zbiór punktów (n,an)(n, a_n). Ponieważ nn przyjmuje tylko wartości 1,2,3,…1, 2, 3, \ldots, wykres składa się z osobnych punktów. Nie łączymy ich linią, bo między n=1n = 1 a n=2n = 2 nie ma żadnego wyrazu. Nie ma też punktu nad n=0n = 0.

Poniżej wykres ciągu an=(−1)n⋅na_n = (-1)^n \cdot n. Punkty skaczą raz pod oś, raz nad nią.

naₙ2468−6−4−2246
Sześć pierwszych wyrazów ciągu an=(−1)n⋅na_n = (-1)^n \cdot n. Pierwsza współrzędna to numer, druga to wartość.

Zadanie 7

1 pkt

Na rysunku zaznaczono sześć początkowych wyrazów ciągu (an)(a_n). Punkty leżą w węzłach kratki. Wzorem ogólnym tego ciągu może być:

naₙ246−4−2246
  • A.
    an=n2−6n+5a_n = n^2 - 6n + 5
  • B.
    an=n2−4na_n = n^2 - 4n
  • C.
    an=−n2+6n−5a_n = -n^2 + 6n - 5
  • D.
    an=n2+6n+5a_n = n^2 + 6n + 5
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 7
Odpowiedź:
A. an=n2−6n+5a_n = n^2 - 6n + 5

Rozwiązanie

  1. Odczytujemy: a1=0a_1 = 0, a2=−3a_2 = -3, a3=−4a_3 = -4, a4=−3a_4 = -3, a5=0a_5 = 0, a6=5a_6 = 5.

  2. Sprawdzamy wzory na dwóch, trzech wyrazach. Tylko an=n2−6n+5=(n−1)(n−5)a_n = n^2 - 6n + 5 = (n - 1)(n - 5) pasuje do wszystkich punktów.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Ten wzór daje a1=−3a_1 = -3, a2=−4a_2 = -4. To odczyt przesunięty o jeden, jakby pierwszy punkt był wyrazem a0a_0.
  • C
    Znaki odwrócone: a2=−4+12−5=3a_2 = -4 + 12 - 5 = 3, a na rysunku a2=−3a_2 = -3.
  • D
    Ten wzór daje same duże dodatnie liczby, np. a1=12a_1 = 12. Na rysunku a1=0a_1 = 0.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

an,  n∈N+={1,2,3,…}a_n, \; n \in \mathbb{N}_+ = \{1, 2, 3, \ldots\}
ciąg to funkcja numeru n; numer jest naturalny dodatni
an+1:  n→(n+1)a_{n+1}: \; n \to (n + 1)
w miejsce każdego n wstaw n + 1 (to nie a_n + 1)
(−1)n=1 dla n parzystych,  −1 dla nieparzystych(-1)^n = 1 \text{ dla } n \text{ parzystych}, \; -1 \text{ dla nieparzystych}
znak przeplatający się
an=k  ⇒  n∈N+ ?a_n = k \;\Rightarrow\; n \in \mathbb{N}_+ \, ?
który wyraz: rozwiąż równanie i odrzuć n, które nie są naturalne dodatnie
an<0  ⇒  policz n=1,2,…a_n < 0 \;\Rightarrow\; \text{policz } n = 1, 2, \ldots
ile wyrazów ujemnych: rozwiąż nierówność i policz pasujące numery

Inne poradniki

Wszystkie poradniki