Matura 2026 z matematyki, poziom podstawowy: odpowiedzi i rozwiązania

Odpowiedź widać od razu. Rozwiązanie otwierasz, kiedy go potrzebujesz. Numery stron odnoszą się do arkusza CKE w wersji A.

1. Zadanie 1

   1 pktLiczby rzeczywistes. 4 arkusza

   Odpowiedź:

   C
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 1

   1. Pomnóż pierwiastki: $\sqrt{\frac{25}{8}} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{8}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.

   2. Potęga o wykładniku $-1$ to odwrotność: $2^{-1} = \frac{1}{2}$.

   3. $$\frac{5}{2} + \frac{1}{2} = 3$$ Odpowiedź C.

2. Zadanie 2

   1 pktLiczby rzeczywistes. 4 arkusza

   Odpowiedź:

   B
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 2

   1. Po roku: $10\,000 \cdot 1{,}06 = 10\,600$ zł. Po dwóch latach: $10\,600 \cdot 1{,}06 = 11\,236$ zł.

   2. Wzorem: $K = 10\,000 \cdot (1 + 0{,}06)^2 = 11\,236$ zł.

   3. Doliczone odsetki: $11\,236 - 10\,000 = 1236$ zł. Odpowiedź B.

3. Zadanie 3

   1 pktLiczby rzeczywistes. 5 arkusza

   Odpowiedź:

   C
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 3

   1. Zapisz wszystko jako potęgi piątki: $5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}}$.

   2. Pierwiastek kwadratowy to potęga $\frac{1}{2}$: $\sqrt{5^{\frac{3}{2}}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{4}}$.

   3. Odpowiedź C.

4. Zadanie 4

   1 pktLiczby rzeczywistes. 5 arkusza

   Odpowiedź:

   B
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 4

   1. Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu: $\log_8 4 - \log_8 32 = \log_8 \frac{4}{32} = \log_8 \frac{1}{8}$.

   2. $8^{-1} = \frac{1}{8}$, więc $\log_8 \frac{1}{8} = -1$. Odpowiedź B.

   3. Sprawdzenie innym sposobem: $\log_8 4 = \frac{2}{3}$ (bo $8^{\frac{2}{3}} = 4$), $\log_8 32 = \frac{5}{3}$, różnica $-1$.

5. Zadanie 5

   1 pktLiczby rzeczywistes. 6 arkusza

   Odpowiedź:

   • Zdanie 1: P (prawda)
   • Zdanie 2: P (prawda)
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 5

   1. Kluczowy krok: $4^{12} = (2^2)^{12} = 2^{24}$.

   2. $$4^{12} \cdot 5^{24} = 2^{24} \cdot 5^{24} = (2 \cdot 5)^{24} = 10^{24}$$

   3. $10^{24}$ jest podzielna przez $20$ (P) i ma $25$ cyfr: jedynkę i $24$ zera (P). CKE daje punkt tylko za obie oceny poprawne.

6. Zadanie 6

   1 pktWyrażenia algebraicznes. 6 arkusza

   Odpowiedź:

   A
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 6

   1. Rozpoznaj wzór skróconego mnożenia: $x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2$.

   2. Dla $x = \sqrt{2} - 5$: $x + 5 = \sqrt{2}$, więc $(x + 5)^2 = 2$. Odpowiedź A.

7. Zadanie 7

   2 pktLiczby rzeczywistes. 7 arkusza

   Odpowiedź: to dowód, więc nie ma jednego wyniku. Zobacz tok rozumowania w rozwiązaniu.
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 7

   1. Podzielność przez $14$ to podzielność przez $7$ i przez $2$ naraz (bo $14 = 2 \cdot 7$, a $2$ i $7$ są względnie pierwsze).

   2. Przez $7$: $7n^2 + 21n = 7n(n + 3)$. 1 pkt (CKE) za uzasadnienie podzielności przez $7$ albo przez $2$.

   3. Przez $2$: z liczb $n$ i $n + 3$ jedna jest parzysta, bo różnią się o liczbę nieparzystą. Iloczyn $n(n + 3)$ jest więc parzysty.

   4. Razem $7n(n + 3) = 7 \cdot 2k = 14k$. 2 pkt (CKE) za pełne rozumowanie.

   5. Inny sposób: rozpatrz $n = 2k$ (wtedy $7n^2 + 21n = 14(2k^2 + 3k)$) i $n = 2k + 1$ (wtedy $7n^2 + 21n = 14(2k^2 + 5k + 2)$). Sprawdzenie tezy tylko dla kilku liczb daje 0 pkt.

8. Zadanie 8

   1 pktRównania i nierównościs. 8 arkusza

   Odpowiedź:

   C
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 8

   1. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem. Stała $3$ nigdy nie jest zerem.

   2. $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$, $\;x - m = 0 \Rightarrow x = m$, $\;2x + 4 = 0 \Rightarrow x = -2$.

   3. Suma rozwiązań: $-3 + m - 2 = 0$, więc $m = 5$. Odpowiedź C.

9. Zadanie 9

   1 pktRównania i nierównościs. 8 arkusza

   Odpowiedź:

   D
   Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 9

   1. Założenie: $3x - 1 \ne 0$, czyli $x \ne \frac{1}{3}$.

   2. Mnożenie na krzyż: $5(x + 2) = 2(3x - 1)$, czyli $5x + 10 = 6x - 2$.

   3. $x = 12$. Sprawdzenie: $\frac{12 + 2}{36 - 1} = \frac{14}{35} = \frac{2}{5}$. Odpowiedź D.

10. Zadanie 10

    2 pktRównania i nierównościs. 9 arkusza

    Odpowiedź:

    $x \in$ $(-\infty; -\frac{4}{3}\rangle \cup \langle2; +\infty)$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 10

    1. Przenieś wszystko na lewą stronę: $3x^2 + 4x - 6x - 8 \ge 0$, czyli $3x^2 - 2x - 8 \ge 0$.

    2. $\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$, $\sqrt{\Delta} = 10$.

    3. $x_1 = \frac{2 - 10}{6} = -\frac{4}{3}$, $\;x_2 = \frac{2 + 10}{6} = 2$. 1 pkt (CKE) za oba pierwiastki.

    4. Parabola ma ramiona w górę, więc jest nad osią (lub na niej) poza pierwiastkami. Nierówność jest nieostra, więc końce należą do zbioru: $$x \in \left(-\infty; -\frac{4}{3}\right\rangle \cup \langle 2; +\infty)$$ 2 pkt (CKE).

    5. Szybciej przez grupowanie: $x(3x + 4) - 2(3x + 4) = (3x + 4)(x - 2) \ge 0$. Uwaga z zasad CKE: dzielenie obu stron przez $3x + 4$ bez rozpatrzenia jego znaku daje 0 pkt.

11. Zadanie 11

    2 pktUkłady równańs. 10 arkusza

    Odpowiedź:

    bilety ulgowe: $78$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 11

    1. Po odjęciu kosztów zostało $75\%$ wpływów, więc wpływy to $4665 : 0{,}75 = 6220$ zł.

    2. Oznacz: $x$ – bilety normalne, $y$ – ulgowe. $$\begin{cases} x + y = 200 \\ 35x + 25y = 6220 \end{cases}$$ 1 pkt (CKE) za taki układ (albo z $0{,}75 \cdot (35x + 25y) = 4665$).

    3. Podstaw $x = 200 - y$: $7000 - 35y + 25y = 6220$, czyli $10y = 780$, $y = 78$. 2 pkt (CKE).

    4. Bez układu: gdyby wszystkie $200$ biletów były normalne, wpływy byłyby $7000$ zł, czyli o $780$ zł więcej. Każdy bilet ulgowy jest tańszy o $10$ zł, więc ulgowych było $780 : 10 = 78$.

12. Zadanie 12.1

    2 pktFunkcjes. 12 arkusza

    Odpowiedź:

    • 1. rozwiązanie $f(x) = 3$: $1$
    • 2. największa wartość w $\langle 2; 3\rangle$: $4$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 12.1

    1. $f(x) = 3$: na $\langle -4; 2\rangle$: $x + 2 = 3$, więc $x = 1$ (należy do przedziału). Na $(2; 5)$: $-x + 5 = 3$ daje $x = 2$, ale $2$ nie należy do $(2; 5)$. Jedyne rozwiązanie: $x = 1$.

    2. Największa wartość w $\langle 2; 3\rangle$: $f(2) = 2 + 2 = 4$ (dla $x = 2$ działa pierwszy wzór). Dla $x \in (2; 3\rangle$ funkcja $-x + 5$ maleje i ma wartości mniejsze od $3$. Największa wartość to $4$.

    3. CKE daje po 1 pkt za każde zdanie. Pułapka: w punkcie $x = 2$ obowiązuje wzór $x + 2$, bo $2$ należy do przedziału $\langle -4; 2\rangle$.

13. Zadanie 12.2

    2 pktFunkcjes. 13 arkusza

    Odpowiedź:

    • 1. zbiór wartości: $\langle-2; 4\rangle$
    • 2. argumenty, dla których $f(x) > 1$: $(-1; 4)$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 12.2

    1. Zbiór wartości: na $\langle -4; 2\rangle$ funkcja $x + 2$ rośnie od $f(-4) = -2$ do $f(2) = 4$. Na $(2; 5)$ funkcja $-x + 5$ maleje od $3$ do $0$ (bez końców), a te wartości już są w $\langle -2; 4\rangle$. Razem $\langle -2; 4\rangle$.

    2. $f(x) > 1$: na $\langle -4; 2\rangle$: $x + 2 > 1 \iff x > -1$, czyli $(-1; 2\rangle$. Na $(2; 5)$: $-x + 5 > 1 \iff x < 4$, czyli $(2; 4)$. Razem $(-1; 4)$.

    3. CKE daje po 1 pkt za każde zdanie, jeśli widać, czy końce są domknięte, czy otwarte.

14. Zadanie 13.1

    1 pktFunkcjes. 14 arkusza

    Odpowiedź:

    • Zdanie 1: F (fałsz)
    • Zdanie 2: F (fałsz)
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 13.1

    1. Z rysunku odczytaj punkty przecięcia z osiami: $(-2, 0)$ i $(0, -3)$.

    2. $a = \frac{-3 - 0}{0 - (-2)} = -\frac{3}{2} < 0$ (F), a $b = f(0) = -3 < 0$ (F).

    3. Wzór: $f(x) = -\frac{3}{2}x - 3$. CKE daje punkt tylko za obie oceny poprawne.

15. Zadanie 13.2

    1 pktFunkcjes. 15 arkusza

    Odpowiedź:

    A
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 13.2

    1. Tangens kąta nachylenia prostej $y = ax + b$ do osi $Ox$ jest równy $a$.

    2. Z zadania 13.1: $a = -\frac{3}{2}$, więc $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{3}{2}$. Kąt jest rozwarty, co zgadza się z ujemnym tangensem. Odpowiedź A.

16. Zadanie 14

    4 pktFunkcjes. 16 arkusza

    Odpowiedź:

    • miejsce zerowe $f$ (z $g(0) = 0$): $1$
    • $a =$ $\frac{1}{2}$
    • $f(x) =$ $\frac{1}{2}x^{2} - 3x + \frac{5}{2}$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 14

    1. Wierzchołek $W = (3, -2)$ daje postać kanoniczną: $f(x) = a(x - 3)^2 - 2$. 1 pkt (CKE) za ten zapis.

    2. $g(0) = 0$ znaczy $f(0 + 1) = 0$, czyli $f(1) = 0$: liczba $1$ jest miejscem zerowym $f$. 2 pkt (CKE) za postać kanoniczną razem z tym miejscem zerowym.

    3. Podstaw $x = 1$: $a(1 - 3)^2 - 2 = 0$, czyli $4a = 2$, $a = \frac{1}{2}$. 3 pkt (CKE) za pierwszy obliczony współczynnik.

    4. $$f(x) = \frac{1}{2}(x - 3)^2 - 2 = \frac{1}{2}(x^2 - 6x + 9) - 2 = \frac{1}{2}x^2 - 3x + \frac{5}{2}$$ 4 pkt (CKE).

    5. Inaczej: $g(x) = f(x + 1)$ to wykres $f$ przesunięty o $1$ w lewo. Miejsce zerowe $0$ funkcji $g$ odpowiada miejscu zerowemu $1$ funkcji $f$. Drugie miejsce zerowe $f$ leży symetrycznie względem $x = 3$, czyli $5$, więc $f(x) = a(x - 1)(x - 5)$ i $f(3) = -4a = -2$.

    6. Pułapka z zasad CKE: przesunięcie w złą stronę (miejsce zerowe $-1$ zamiast $1$, wierzchołek $g$ w $(4, -2)$ zamiast $(2, -2)$) daje najwyżej 2 pkt.

17. Zadanie 15

    3 pktCiągis. 18 arkusza

    Odpowiedź:

    • $a_9 =$ $32$
    • $a_k =$ $128$
    • $k =$ $41$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 15

    1. Ze wzoru: $a_1 = 3 \cdot 1 + 5 = 8$ i $a_9 = 3 \cdot 9 + 5 = 32$. 1 pkt (CKE) za oba wyrazy.

    2. Ciąg $(8, 32, a_k)$ jest geometryczny, więc iloraz to $q = \frac{32}{8} = 4$, a $a_k = 32 \cdot 4 = 128$. (Z własności: $32^2 = 8 \cdot a_k$.) 2 pkt (CKE).

    3. $3k + 5 = 128$, czyli $3k = 123$, $k = 41$. 3 pkt (CKE).

18. Zadanie 16

    1 pktCiągis. 19 arkusza

    Odpowiedź:

    B
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 16

    1. $a_5 = a_1 + 4r$, więc $17 = 1 + 4r$ i $r = 4$.

    2. $a_9 = a_1 + 8r = 1 + 32 = 33$. Szybciej: $a_5$ jest w połowie drogi od $a_1$ do $a_9$, więc $a_9 = 2a_5 - a_1 = 34 - 1 = 33$. Odpowiedź B.

19. Zadanie 17

    1 pktCiągis. 19 arkusza

    Odpowiedź:

    $a_2 \cdot a_7 =$ $18$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 17

    1. Zapisz wyrazy przez $a_1$ i $q$: $a_3 \cdot a_6 = a_1q^2 \cdot a_1q^5 = a_1^2q^7$.

    2. $a_2 \cdot a_7 = a_1q \cdot a_1q^6 = a_1^2q^7$ – to ten sam iloczyn.

    3. Zatem $a_2 \cdot a_7 = a_3 \cdot a_6 = 18$. Reguła: w ciągu geometrycznym iloczyny wyrazów o tej samej sumie numerów są równe ($2 + 7 = 3 + 6$).

20. Zadanie 18

    1 pktTrygonometrias. 20 arkusza

    Odpowiedź:

    C
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 18

    1. Kąt prosty jest przy $B$. Z twierdzenia Pitagorasa: $|AB| = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = 6$.

    2. Naprzeciw kąta $\gamma$ (przy $C$) leży $AB$, więc $\sin\gamma = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. Odpowiedź C.

21. Zadanie 19

    1 pktPlanimetrias. 21 arkusza

    Odpowiedź:

    C
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 19

    1. Kąt wpisany $CDA$ i kąt środkowy $COA$ są oparte na tym samym łuku $AC$ (tym krótszym, z punktem $B$), więc $|\sphericalangle AOC| = 2 \cdot 50^\circ = 100^\circ$.

    2. $B$ leży na tym łuku, więc kąt $AOC$ składa się z kątów $AOB$ i $BOC$: $|\sphericalangle BOA| = 100^\circ - 30^\circ = 70^\circ$. Odpowiedź C.

22. Zadanie 20

    1 pktPlanimetrias. 22 arkusza

    Odpowiedź:

    B
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 20

    1. $k \parallel l$, więc trójkąty $OAD$ i $OCB$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $O$ i kąty naprzemianległe przy prostych równoległych).

    2. $A$ odpowiada $C$, a $D$ odpowiada $B$: $\frac{|OD|}{|OB|} = \frac{|OA|}{|OC|} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.

    3. $|OD| = \frac{3}{2} \cdot 6 = 9$. Odpowiedź B.

23. Zadanie 21

    2 pktPlanimetrias. 23 arkusza

    Odpowiedź: to dowód, więc nie ma jednego wyniku. Zobacz tok rozumowania w rozwiązaniu.
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 21

    1. Dwusieczna dzieli kąt przy $M$ na dwa równe kąty $\alpha$. Oba trójkąty mają wspólny bok $MN$.

    2. Pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi: $P_{KNM} = \frac{1}{2} a \cdot |MN| \sin\alpha$, $P_{NLM} = \frac{1}{2} b \cdot |MN| \sin\alpha$. 1 pkt (CKE) za oba te zapisy.

    3. W ilorazie skracają się $\frac{1}{2}$, $|MN|$ i $\sin\alpha$, zostaje $\frac{a}{b}$. 2 pkt (CKE) za pełne rozumowanie.

    4. Inny sposób: punkt $N$ na dwusiecznej jest tak samo odległy od ramion $MK$ i $ML$, więc wysokości obu trójkątów z wierzchołka $N$ są równe (np. $d$). Wtedy $\frac{P_{KNM}}{P_{NLM}} = \frac{\frac{1}{2} a d}{\frac{1}{2} b d} = \frac{a}{b}$. Uwaga z zasad CKE: bez uzasadnienia równości tych wysokości jest najwyżej 1 pkt.

24. Zadanie 22

    1 pktPlanimetrias. 24 arkusza

    Odpowiedź:

    bok: $27$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 22

    1. Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym o boku $a$ to $R = \frac{a\sqrt{3}}{3}$ (to $\frac{2}{3}$ wysokości).

    2. Stąd $a = R\sqrt{3} = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 27$.

25. Zadanie 23

    1 pktTrygonometrias. 24 arkusza

    Odpowiedź:

    D
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 23

    1. Rozbij ułamek na dwa: $\frac{3\sin\alpha}{4\cos\alpha} + \frac{4\cos\alpha}{4\cos\alpha} = \frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha + 1$.

    2. $\frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha + 1 = 6$, czyli $\frac{3}{4}\operatorname{tg}\alpha = 5$ i $\operatorname{tg}\alpha = \frac{20}{3}$.

    3. Albo pomnóż na krzyż: $3\sin\alpha + 4\cos\alpha = 24\cos\alpha$, więc $3\sin\alpha = 20\cos\alpha$ i $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{20}{3}$. Odpowiedź D.

26. Zadanie 24.1

    1 pktGeometria analitycznas. 25 arkusza

    Odpowiedź:

    B
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 24.1

    1. Bok $AC$ leży na osi $Oy$: $|AC| = 2 - (-3) = 5$. Wysokość z $B$ na $AC$ to odległość $B$ od osi $Oy$, czyli $2$.

    2. $P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 2 = 5$. Odpowiedź B.

    3. Sprawdzenie: $|AB| = \sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}$, $|BC| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$, $|AB|^2 + |BC|^2 = 25 = |AC|^2$, więc kąt prosty jest przy $B$ i $P = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$.

27. Zadanie 24.2

    1 pktGeometria analitycznas. 25 arkusza

    Odpowiedź:

    D
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 24.2

    1. Na trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży w środku przeciwprostokątnej. Tu przeciwprostokątna to $AC$ (kąt prosty przy $B$).

    2. $S = \left(\frac{0 + 0}{2}, \frac{-3 + 2}{2}\right) = \left(0, -\frac{1}{2}\right)$. Odpowiedź D.

28. Zadanie 25

    1 pktGeometria analitycznas. 26 arkusza

    Odpowiedź:

    • Zdanie 1: P (prawda)
    • Zdanie 2: F (fałsz)
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 25

    1. Punkt leży na okręgu, gdy jego odległość od środka równa się promieniowi: $|SA| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ (P).

    2. Równanie okręgu o środku $(1, -3)$ i promieniu $5$: $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 25$. Z prawą stroną $5$ zdanie jest fałszywe (F).

29. Zadanie 26

    1 pktGeometria analitycznas. 26 arkusza

    Odpowiedź:

    D
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 26

    1. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy: $l: y = -\frac{1}{3}x + b$.

    2. Punkt $(2, -2)$ leży na $l$: $-2 = -\frac{1}{3} \cdot 2 + b$, więc $b = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$.

    3. Prosta przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, b) = \left(0, -\frac{4}{3}\right)$. Odpowiedź D.

30. Zadanie 27

    2 pktStereometrias. 27 arkusza

    Odpowiedź:

    • $H =$ $4$
    • $V =$ $128$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 27

    1. Spodek wysokości $O$ to środek podstawy (kwadratu), więc $|OB|$ to połowa przekątnej: $4\sqrt{3}$.

    2. Kąt nachylenia krawędzi bocznej to kąt $SBO$ w trójkącie prostokątnym $SOB$: $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{H}{4\sqrt{3}}$, więc $H = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = 4$. 1 pkt (CKE) za wysokość (albo za pole podstawy).

    3. Pole kwadratu z przekątnej: $P_p = \frac{d^2}{2} = \frac{(8\sqrt{3})^2}{2} = \frac{192}{2} = 96$.

    4. $$V = \frac{1}{3} \cdot 96 \cdot 4 = 128$$ 2 pkt (CKE).

31. Zadanie 28

    1 pktStereometrias. 28 arkusza

    Odpowiedź:

    D
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 28

    1. Oznacz promień walca $r$, promień stożka $2r$, wspólną wysokość $h$.

    2. $V_s = \frac{1}{3}\pi (2r)^2 h = \frac{4}{3}\pi r^2 h$, $V_w = \pi r^2 h$.

    3. $\frac{V_s}{V_w} = \frac{4}{3}$. Odpowiedź D.

32. Zadanie 29

    1 pktKombinatorykas. 28 arkusza

    Odpowiedź:

    A
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 29

    1. Setki: cyfry $1$–$6$, czyli $6$ możliwości (zero odpada). Dziesiątki: dowolna z $7$ cyfr. Jedności: nieparzysta, czyli $1$, $3$ lub $5$ – $3$ możliwości.

    2. Reguła mnożenia: $6 \cdot 7 \cdot 3 = 126$. Odpowiedź A.

33. Zadanie 30

    2 pktPrawdopodobieństwo i statystykas. 29 arkusza

    Odpowiedź:

    • $|A| =$ $9$
    • $P(A) =$ $0{,}36$
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 30

    1. Wszystkich wyników: $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$ (pierwsza cyfra z $X$, druga z $Y$). 1 pkt (CKE) za $|\Omega|$ albo za poprawną listę wyników sprzyjających.

    2. Każda liczba z cyfrą jedności parzystą jest parzysta, więc wystarczy podzielność przez $3$: suma cyfr dzieli się przez $3$.

    3. Wypisz: $12, 18, 30, 36, 54, 72, 78, 90, 96$. To $9$ liczb.

    4. $P(A) = \frac{9}{25}$. 2 pkt (CKE).

34. Zadanie 31

    1 pktPrawdopodobieństwo i statystykas. 30 arkusza

    Odpowiedź:

    • Zdanie 1: P (prawda)
    • Zdanie 2: P (prawda)
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 31

    1. Klasa IV A (oceny 1–6): $1, 6, 3, 3, 6, 1$ uczniów, razem $20$. Suma ocen: $1 + 12 + 9 + 12 + 30 + 6 = 70$. Średnia $3{,}5$.

    2. Klasa IV B: $1, 3, 6, 6, 3, 1$ uczniów, razem $20$. Suma ocen: $1 + 6 + 18 + 24 + 15 + 6 = 70$. Średnia $3{,}5$. Zdanie 1: P.

    3. Mediana $20$ ocen to średnia $10$. i $11$. W IV A oceny do 3 ma $10$ osób, w IV B też $10$ ($1 + 3 + 6$), więc w obu klasach $10$. ocena to $3$, a $11$. to $4$. Obie mediany $3{,}5$. Zdanie 2: P.

35. Zadanie 32

    1 pktPrawdopodobieństwo i statystykas. 31 arkusza

    Odpowiedź:

    C
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 32

    1. Ze średnich odczytaj sumy: $a + b + c = 3 \cdot 2 = 6$, $d + e + f + g = 4 \cdot 5{,}5 = 22$.

    2. Średnia siedmiu liczb: $\frac{6 + 22}{7} = 4$. Odpowiedź C.

36. Zadanie 33.1

    1 pktFunkcjes. 32 arkusza

    Odpowiedź:

    D
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 33.1

    1. Upadek to chwila, w której wysokość znów jest równa $0$: $-4{,}9t^2 + 14{,}7t = 0$.

    2. $4{,}9t(3 - t) = 0$, więc $t = 0$ (chwila wyrzutu) albo $t = 3$. Odpowiedź D.

37. Zadanie 33.2

    1 pktOptymalizacjas. 33 arkusza

    Odpowiedź:

    A
    Rozwiązanie krok po kroku, zadanie 33.2

    1. Wykres $h$ to parabola z ramionami w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku.

    2. $t_w = \frac{-b}{2a} = \frac{-14{,}7}{2 \cdot (-4{,}9)} = 1{,}5$ s. To też środek między miejscami zerowymi $0$ i $3$. Odpowiedź A.

    3. Największa wysokość: $h(1{,}5) = -4{,}9 \cdot 2{,}25 + 14{,}7 \cdot 1{,}5 = 11{,}025$ m.

Zadania, numeracja i punktacja: arkusz CKE, matematyka, poziom podstawowy, maj 2026 i zasady oceniania CKE. Rozwiązania i komentarze: Skumane.