Pojęcie funkcji i sposoby jej opisu

Funkcja to przepis: wrzucasz liczbę, dostajesz jedną liczbę. Ten sam przepis można podać wzorem, tabelką, wykresem albo zdaniem. Na maturze wszystkie cztery zapisy się mieszają, więc tu nauczysz się przechodzić między nimi i liczyć wartości bez pomyłek, także dla funkcji zapisanej kilkoma wzorami.

Dział V: Funkcje. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 45 minut, 3 przykłady i 9 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: 5 października 2026.

Po tym poradniku:

rozpoznajesz, czy przyporządkowanie jest funkcją
odróżniasz argument od wartości i liczysz $f(a)$ ze wzoru
znajdujesz argument, dla którego funkcja ma daną wartość
przechodzisz między wzorem, tabelą, wykresem i opisem słownym
wyznaczasz dziedzinę funkcji danej wzorem i liczysz wartości funkcji określonej przedziałami

Czym jest funkcja

Funkcja $f$ to przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$ . Nazwy, które będą wracać w każdym zadaniu:

$x$ to argument (to, co wrzucasz);
$f(x)$ to wartość funkcji dla argumentu $x$ (to, co wychodzi);
zbiór wszystkich argumentów to dziedzina funkcji, oznaczana $D$ albo $D_f$ ;
zbiór wszystkich wartości to zbiór wartości funkcji.

Zapis $f(3) = 7$ czytasz: „dla argumentu $3$ funkcja przyjmuje wartość $7$ ”. Na wykresie to punkt $(3, 7)$ .

Najważniejsze słowo w definicji to „dokładnie jeden”. Na wykresie sprawdzasz to testem pionowej prostej: każda prosta pionowa przecina wykres funkcji co najwyżej w jednym punkcie. Okrąg poniżej nie jest wykresem funkcji, bo prosta $x = 3$ przecina go w dwóch punktach. Argument $3$ miałby dwie wartości: $4$ i $-4$ .

Okrąg nie jest wykresem funkcji: jednemu argumentowi odpowiadają dwa punkty.

Zadanie 1

2 pkt

Oceń, czy opisane przyporządkowanie jest funkcją.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

Każdemu uczniowi Twojej klasy przyporządkowujemy jego datę urodzenia.
Każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowujemy liczbę $y$ taką, że $y^2 = x$ .
Przyporządkowanie z tabeli: $\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 2 \\ \hline y & 5 & 6 & 7 \end{array}$
Każdej liczbie ze zbioru $\{1, 2, 3\}$ przyporządkowujemy liczbę $5$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

Każdemu uczniowi Twojej klasy przyporządkowujemy jego datę urodzenia.: P (prawda)
Każdej liczbie rzeczywistej $x$ przyporządkowujemy liczbę $y$ taką, że $y^2 = x$ .: F (fałsz)
Przyporządkowanie z tabeli: $\begin{array}{c|c|c|c} x & 1 & 2 & 2 \\ \hline y & 5 & 6 & 7 \end{array}$ : F (fałsz)
Każdej liczbie ze zbioru $\{1, 2, 3\}$ przyporządkowujemy liczbę $5$ .: P (prawda)

Rozwiązanie

Dla każdego argumentu sprawdzasz, ile ma wartości. Musi mieć dokładnie jedną.
Powtarzające się wartości są w porządku. Powtarzający się argument z różnymi wartościami oznacza, że to nie jest funkcja.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Wzór, tabela, wykres i słowa

Tę samą funkcję możesz opisać na cztery sposoby. Weźmy dziedzinę $D = \{-1, 0, 1, 2, 3\}$ .

Słowa: każdej liczbie z $D$ przyporządkowujemy liczbę o $1$ mniejszą od jej podwojenia.
Wzór: $f(x) = 2x - 1$ dla $x \in D$ .
Tabela: $\begin{array}{c|c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline f(x) & -3 & -1 & 1 & 3 & 5 \end{array}$
Wykres: pięć punktów $(x, f(x))$ , jak na rysunku.

Dziedzina ma pięć liczb, więc wykres to pięć punktów, a nie prosta.

Przykład Wartość, argument i punkt na wykresie

Funkcja jest dana wzorem $f(x) = 3x - 2$ dla $x \in \mathbb{R}$ . Oblicz $f(-1)$ . Znajdź argument, dla którego $f(x) = 10$ . Sprawdź, czy punkt $(2, 5)$ należy do wykresu.

Wartość: wstawiasz argument w miejsce $x$ . $f(-1) = 3 \cdot (-1) - 2 = -5$
Argument: tu znasz wynik, a szukasz $x$ . Rozwiązujesz równanie: $3x - 2 = 10 \;\Rightarrow\; 3x = 12 \;\Rightarrow\; x = 4$
Punkt: $f(2) = 3 \cdot 2 - 2 = 4$ , a druga współrzędna punktu to $5$ . Skoro $4 \neq 5$ , punkt $(2, 5)$ nie należy do wykresu.

Zadanie 2

2 pkt

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = -2x + 7$ dla $x \in \mathbb{R}$ . Oblicz $f(-3)$ i znajdź argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $-3$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$f(-3) =$ $13$
$f(x) = -3$ dla $x =$ $5$

Rozwiązanie

$f(-3) = -2 \cdot (-3) + 7 = 6 + 7 = 13$
$-2x + 7 = -3 \;\Rightarrow\; -2x = -10 \;\Rightarrow\; x = 5$
Sprawdzenie: $f(5) = -10 + 7 = -3$ . Zgadza się.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Zadanie 3

1 pkt

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = x^2 - 3x$ dla $x \in \mathbb{R}$ . Do wykresu funkcji $f$ należy punkt:

A.
$(-1, 4)$
B.
$(-1, 2)$
C.
$(4, -1)$
D.
$(2, 2)$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $(-1, 4)$

Rozwiązanie

Dla każdego punktu $(a, b)$ liczysz $f(a)$ i porównujesz z $b$ .
$f(-1) = 1 + 3 = 4$ : punkt $(-1, 4)$ należy do wykresu. $f(4) = 4 \neq -1$ i $f(2) = -2 \neq 2$ , więc pozostałe punkty nie należą.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
$(-1)^2$ policzone jak $-1^2 = -1$ . Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni: $(-1)^2 = 1$ .
C
Współrzędne zamienione miejscami. Pierwsza współrzędna to argument: $f(4) = 16 - 12 = 4$ , a nie $-1$ .
D
$f(2) = 4 - 6 = -2$ . Odejmujesz $3 \cdot 2$ od $2^2$ , a nie odwrotnie.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

1 pkt

Funkcja $f$ jest określona tabelą. Który wzór ją opisuje? $\begin{array}{c|c|c|c|c} x & -1 & 0 & 1 & 2 \\ \hline f(x) & 3 & 1 & -1 & -3 \end{array}$

A.
$f(x) = -2x + 1$
B.
$f(x) = 2x + 1$
C.
$f(x) = -2x + 3$
D.
$f(x) = -x + 1$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $f(x) = -2x + 1$

Rozwiązanie

Gdy $x$ rośnie o $1$ , wartość spada o $2$ , więc współczynnik przy $x$ to $-2$ .
Dla $x = 0$ wartość to $1$ , więc wyraz wolny to $1$ : $f(x) = -2x + 1$ .
Sprawdzenie ostatniej kolumny: $f(2) = -4 + 1 = -3$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Pasuje tylko kolumna $x = 0$ . Dla $x = 1$ ten wzór daje $3$ , a w tabeli jest $-1$ . Sprawdzaj wszystkie kolumny, nie jedną.
C
Liczba $3$ stoi pod $x = -1$ , nie pod $x = 0$ . Wyraz wolny to wartość dla $x = 0$ , czyli $1$ .
D
Dla $x = 1$ wychodzi $0$ , a w tabeli jest $-1$ . Wartości spadają o $2$ przy każdym kroku, więc współczynnik przy $x$ to $-2$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Zadanie 5

1 pkt

Funkcja $f$ każdej liczbie rzeczywistej przyporządkowuje różnicę kwadratu tej liczby i jej potrojenia. Zapisz wzór tej funkcji.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

f(x) =

x^{2} - 3x

Rozwiązanie

Liczbę oznaczasz przez $x$ . Jej kwadrat to $x^2$ , a potrojenie to $3x$ .
Różnica w podanej kolejności: $f(x) = x^2 - 3x$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Dziedzina funkcji danej wzorem

Czasem dziedzina jest podana wprost, np. „ $f(x) = x^2$ dla $x \in \langle -2; 3\rangle$ ”. Wtedy liczysz wartości tylko dla tych $x$ .

Jeśli dziedziny nie podano, przyjmujesz wszystkie liczby, dla których wzór ma sens. Na poziomie podstawowym przeszkodą jest mianownik: nie może być równy $0$ . To ten sam warunek, który zapisujesz przy wyrażeniach wymiernych i równaniach z ułamkami.

f(x) = \frac{4}{x + 1} \;\Rightarrow\; x + 1 \neq 0 \;\Rightarrow\; D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}

wyrzucasz z dziedziny liczby, które zerują mianownik

Zadanie 6

1 pkt

Dziedziną funkcji $f(x) = \dfrac{x + 2}{x - 3}$ jest zbiór:

A.
$\mathbb{R} \setminus \{3\}$
B.
$\mathbb{R} \setminus \{-2\}$
C.
$\mathbb{R} \setminus \{-3\}$
D.
$\mathbb{R}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $\mathbb{R} \setminus \{3\}$

Rozwiązanie

Warunek: $x - 3 \neq 0$ , czyli $x \neq 3$ .
$D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
$-2$ zeruje licznik, a nie mianownik. $f(-2) = \frac{0}{-5} = 0$ to zwykła wartość funkcji.
C
Znak: $x - 3 = 0$ daje $x = 3$ , nie $-3$ .
D
Dla $x = 3$ w mianowniku jest $0$ , a przez zero nie dzielimy. Tę liczbę trzeba wyrzucić.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Przykład Dziedzina, gdy w mianowniku jest kwadrat

Wyznacz dziedzinę funkcji $f(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 - 4x}$ i oblicz $f(2)$ .

Warunek: mianownik różny od zera, $x^2 - 4x \neq 0$ .
Wyłączasz $x$ przed nawias: $\hl{x(x - 4)} \neq 0$ . Iloczyn jest zerem, gdy zerem jest któryś czynnik, więc $x \neq 0$ i $x \neq 4$ .
Komentarz:
Szukasz wszystkich liczb, które zerują mianownik. Dlatego rozkładasz go na czynniki.
Typowy błąd
Źle:
Dzielisz obie strony przez $x$ : $x - 4 \neq 0$ , więc $D = \pen{\mathbb{R} \setminus \{4\}}$ .
Co poszło nie tak:
Dzielenie przez $x$ gubi liczbę $0$ . A dla $x = 0$ mianownik też jest zerem: $0^2 - 4 \cdot 0 = 0$ .
$D = \mathbb{R} \setminus \{0, 4\}$ .
$2$ należy do dziedziny, więc $f(2) = \dfrac{2 - 1}{4 - 8} = -\dfrac{1}{4}$ .

Zadanie 7

2 pkt

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \dfrac{ax - 6}{x + 2}$ dla $x \neq -2$ . Wiadomo, że $f(4) = 1$ . Oblicz $a$ , a potem $f(-1)$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$a =$ $3$
$f(-1) =$ $-9$

Rozwiązanie

$f(4) = \frac{4a - 6}{4 + 2} = \frac{4a - 6}{6}$ , więc $\frac{4a - 6}{6} = 1$ .
$4a - 6 = 6$ , czyli $4a = 12$ i $a = 3$ . Wzór: $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$ .
$-1 \neq -2$ , więc $-1$ należy do dziedziny: $f(-1) = \frac{-3 - 6}{-1 + 2} = \frac{-9}{1} = -9$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Funkcja określona przedziałami

Funkcja może mieć różne wzory na różnych przedziałach. Zapisuje się to klamrą:

f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{dla } x < 1 \\ -x + 5 & \text{dla } x \geq 1 \end{cases}

To nadal jedna funkcja. Klamra mówi tylko, którego wzoru użyć. Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź, do którego przedziału należy argument. Najbardziej uważaj na liczbę z granicy ( $1$ w przykładzie) i na znaki $<$ oraz $\geq$ .

Przykład Wartości i równanie dla funkcji z klamrą

Dla funkcji $f$ z klamry powyżej oblicz $f(-2)$ , $f(1)$ , $f(4)$ i rozwiąż równania $f(x) = 2$ oraz $f(x) = 6$ .

$-2 < 1$ , więc górny wzór: $f(-2) = -2 + 2 = 0$ .
$1 \geq 1$ , więc dolny wzór: $f(1) = -1 + 5 = 4$ . Górny wzór dałby $3$ , ale dla $x = 1$ nie wolno go użyć.
$4 \geq 1$ , więc dolny wzór: $f(4) = -4 + 5 = 1$ .
$f(x) = 2$ rozwiązujesz osobno dla każdego wzoru. Górny: $x + 2 = 2$ , więc $x = 0$ . Warunek $0 < 1$ jest spełniony. Dolny: $-x + 5 = 2$ , więc $x = 3$ . Warunek $3 \geq 1$ jest spełniony. Dwa rozwiązania: $0$ i $3$ .
$f(x) = 6$ . Górny: $x = 4$ , ale $4 < 1$ to nieprawda, więc odrzucasz. Dolny: $x = -1$ , ale $-1 \geq 1$ to nieprawda, więc też odrzucasz. Równanie nie ma rozwiązań. Na wykresie widać to od razu: funkcja nigdzie nie sięga wysokości $6$ .

Dla

x = 1

wykres „przeskakuje”: punkt

(1, 3)

nie należy do wykresu (puste kółko, tak jak na maturze), a punkt

(1, 4)

należy.

Zadanie 8

2 pkt

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \begin{cases} 2x + 5 & \text{dla } x < -1 \\ x^2 - 2 & \text{dla } x \geq -1 \end{cases}$ Oblicz podane wartości.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$f(-2) =$ $1$
$f(-1) =$ $-1$
$f(3) =$ $7$

Rozwiązanie

$-2 < -1$ : $f(-2) = -4 + 5 = 1$ .
$-1 \geq -1$ : $f(-1) = (-1)^2 - 2 = -1$ . Górny wzór dałby $3$ , to typowa pułapka.
$3 \geq -1$ : $f(3) = 9 - 2 = 7$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Zadanie 9

2 pkt

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x) = \begin{cases} -x + 1 & \text{dla } x < 2 \\ 2x - 7 & \text{dla } x \geq 2 \end{cases}$ Wyznacz wszystkie argumenty, dla których funkcja przyjmuje podaną wartość.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$f(x) = -1$ dla $x \in$ $\{3\}$
$f(x) = 3$ dla $x \in$ $\{-2,\ 5\}$

Rozwiązanie

$f(x) = -1$ . Górny: $-x + 1 = -1$ , więc $x = 2$ , ale $2 < 2$ to nieprawda, odrzucasz. Dolny: $2x - 7 = -1$ , więc $x = 3$ i $3 \geq 2$ . Rozwiązanie: $\{3\}$ .
$f(x) = 3$ . Górny: $-x + 1 = 3$ , więc $x = -2$ i $-2 < 2$ . Dolny: $2x - 7 = 3$ , więc $x = 5$ i $5 \geq 2$ . Rozwiązania: $\{-2, 5\}$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 9

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

$f(a) = b \iff (a, b) \text{ należy do wykresu}$: argument a, wartość b
$f(10) \;\text{vs}\; f(x) = 10$: wstawiasz argument albo rozwiązujesz równanie
$\frac{\ldots}{g(x)}: \; g(x) \neq 0$: dziedzina funkcji danej wzorem: mianownik różny od zera
$f(x) = \begin{cases} \ldots & x < a \\ \ldots & x \geq a \end{cases}$: najpierw wybierz wzór, potem licz; sprawdzaj granicę przedziału

Wygląd i czytelność

Pojęcie funkcji i sposoby jej opisu

Czym jest funkcja

Zadanie 1

Wzór, tabela, wykres i słowa

Przykład Wartość, argument i punkt na wykresie

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

Dziedzina funkcji danej wzorem

Zadanie 6

Przykład Dziedzina, gdy w mianowniku jest kwadrat

Zadanie 7

Funkcja określona przedziałami

Przykład Wartości i równanie dla funkcji z klamrą

Zadanie 8

Zadanie 9

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

1Czym jest funkcja

Zadanie 1

2Wzór, tabela, wykres i słowa

Przykład Wartość, argument i punkt na wykresie

Zadanie 2

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadanie 5

3Dziedzina funkcji danej wzorem

Zadanie 6

Przykład Dziedzina, gdy w mianowniku jest kwadrat

Zadanie 7

4Funkcja określona przedziałami

Przykład Wartości i równanie dla funkcji z klamrą

Zadanie 8

Zadanie 9

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

Czym jest funkcja

Wzór, tabela, wykres i słowa

Dziedzina funkcji danej wzorem

Funkcja określona przedziałami