skumane

Wygląd i czytelność

JasnyCiemnyJak w systemie
ZwykłyWysoki
StandardowyCzytelnySzeroki

„Czytelny” (Atkinson Hyperlegible) ma wyraźnie różne litery, np. l, I i 1. „Szeroki” (Lexend) ma więcej miejsca między literami.

AAAA
ZwykłeWiększe
WłączoneOgraniczone

Przykład: wierzchołek paraboli leży w punkcie W = (p, q). Sprawdź, czy tak czyta się wygodnie.

Zacznij za darmo

Odległość punktów i środek odcinka

Dwa wzory z karty, a na nich stoi prawie cała geometria analityczna z podstawy: długość odcinka i środek odcinka. Pierwszy to twierdzenie Pitagorasa na kratce, drugi to zwykła średnia. Na maturze rzadko pytają o nie wprost. Zwykle trzeba je połączyć z własnością figury: przekątne równoległoboku dzielą się na pół, środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego.

Dział IX: Geometria analityczna. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 40 minut, 4 przykłady i 8 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: .

Po tym poradniku:

  • obliczasz odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych
  • wyznaczasz środek odcinka i drugi koniec odcinka, gdy znasz środek
  • łączysz oba wzory z własnościami kwadratu, równoległoboku i trójkąta prostokątnego
  • wyznaczasz brakującą współrzędną, gdy znasz długość odcinka

Odległość dwóch punktów

Połącz punkty A=(1,1)A = (1, 1) i B=(5,4)B = (5, 4) odcinkiem. Dorysuj poziomy i pionowy odcinek, a dostaniesz trójkąt prostokątny:

  • poziomo idziesz o 5−1=45 - 1 = 4 kratki;
  • pionowo o 4−1=34 - 1 = 3 kratki;
  • odcinek ABAB to przeciwprostokątna: ∣AB∣=42+32=25=5|AB| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5.

Tak samo liczysz odległość dowolnych dwóch punktów. Różnice współrzędnych to przyprostokątne, a długość odcinka to przeciwprostokątna.

x246y24643AB
Różnice współrzędnych to przyprostokątne: 44 i 33. Stąd ∣AB∣=5|AB| = 5.
∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
długość odcinka o końcach A = (x_A, y_A) i B = (x_B, y_B)

Przykład Długość odcinka z ujemnymi współrzędnymi

Oblicz długość odcinka ABAB, gdy A=(−2,3)A = (-2, 3) i B=(4,−5)B = (4, -5).

  1. Różnica pierwszych współrzędnych: xB−xA=4−(−2)=6x_B - x_A = 4 - (-2) = 6.

  2. Różnica drugich współrzędnych: yB−yA=−5−3=−8y_B - y_A = -5 - 3 = -8.

  3. Podnosimy do kwadratu, więc znak różnicy nie ma znaczenia: ∣AB∣=62+(−8)2=36+64=100=10|AB| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10

Zadanie 1

1 pkt

Oblicz długość odcinka o końcach A=(−3,−1)A = (-3, -1) i B=(2,11)B = (2, 11).

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 1
Odpowiedź:
∣AB∣=|AB| = 1313

Rozwiązanie

  1. xB−xA=2−(−3)=5x_B - x_A = 2 - (-3) = 5, yB−yA=11−(−1)=12y_B - y_A = 11 - (-1) = 12.

  2. ∣AB∣=52+122=169=13|AB| = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{169} = 13

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Zadanie 2

1 pkt

Dane są punkty A=(1,−2)A = (1, -2) i B=(4,4)B = (4, 4). Długość odcinka ABAB jest równa:

  • A.
    353\sqrt{5}
  • B.
    13\sqrt{13}
  • C.
    99
  • D.
    4545
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 2
Odpowiedź:
A. 353\sqrt{5}

Rozwiązanie

  1. xB−xA=3x_B - x_A = 3, yB−yA=4−(−2)=6y_B - y_A = 4 - (-2) = 6.

  2. ∣AB∣=9+36=45=35|AB| = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Zgubiony minus: 4−(−2)=64 - (-2) = 6, a nie 4−2=24 - 2 = 2. Z różnicą 22 wychodzi 9+4=13\sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.
  • C
    To suma różnic 3+63 + 6 bez kwadratów i pierwiastka. Długość to przeciwprostokątna, a nie suma przyprostokątnych.
  • D
    To ∣AB∣2|AB|^2. Na końcu brakuje pierwiastka.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Środek odcinka

Środek odcinka leży dokładnie w połowie drogi, i to w obu kierunkach naraz. Jego pierwsza współrzędna jest średnią pierwszych współrzędnych końców, a druga średnią drugich.

S=(xA+xB2,  yA+yB2)S = \left( \frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2} \right)
środek odcinka AB (karta wzorów, strona 22)
x-4-22468y-2246ABS
SS to średnia końców: −3+72=2\frac{-3 + 7}{2} = 2 i 5+(−1)2=2\frac{5 + (-1)}{2} = 2.

Wzór działa też w drugą stronę. Gdy znasz jeden koniec AA i środek SS, drugi koniec leży „tyle samo dalej”: od AA do SS i od SS do BB jest ten sam krok. Z równania xA+xB2=xS\frac{x_A + x_B}{2} = x_S dostajesz:

xB=2xS−xA,yB=2yS−yAx_B = 2x_S - x_A, \qquad y_B = 2y_S - y_A

Przykład Drugi koniec odcinka

Punkt S=(1,−2)S = (1, -2) jest środkiem odcinka ABAB, a A=(−3,4)A = (-3, 4). Wyznacz współrzędne punktu BB.

  1. Pierwsza współrzędna: −3+xB2=1\frac{-3 + x_B}{2} = 1, więc −3+xB=2-3 + x_B = 2 i xB=5x_B = 5.

  2. Druga współrzędna: 4+yB2=−2\frac{4 + y_B}{2} = -2, więc 4+yB=−44 + y_B = -4 i yB=−8y_B = -8.

  3. B=(5,−8)B = (5, -8). Krokiem: od AA do SS idziemy o 44 w prawo i o 66 w dół. Ten sam krok od SS daje (1+4,−2−6)=(5,−8)(1 + 4, -2 - 6) = (5, -8).

Zadanie 3

1 pkt

Wyznacz środek odcinka o końcach A=(−4,7)A = (-4, 7) i B=(2,−3)B = (2, -3).

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 3

Odpowiedź:

  • xS=x_S = −1-1
  • yS=y_S = 22

Rozwiązanie

  1. xS=−4+22=−1,yS=7−32=2x_S = \frac{-4 + 2}{2} = -1, \qquad y_S = \frac{7 - 3}{2} = 2

  2. S=(−1,2)S = (-1, 2).

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

1 pkt

Punkt S=(3,−1)S = (3, -1) jest środkiem odcinka ABAB, w którym A=(−2,5)A = (-2, 5). Wyznacz współrzędne punktu BB.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 4

Odpowiedź:

  • xB=x_B = 88
  • yB=y_B = −7-7

Rozwiązanie

  1. xB=2⋅3−(−2)=8x_B = 2 \cdot 3 - (-2) = 8, yB=2⋅(−1)−5=−7y_B = 2 \cdot (-1) - 5 = -7.

  2. B=(8,−7)B = (8, -7). Sprawdzenie: −2+82=3\frac{-2 + 8}{2} = 3 i 5+(−7)2=−1\frac{5 + (-7)}{2} = -1.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Figury w układzie współrzędnych

Na maturze wzory na długość i środek są zwykle tylko narzędziem. Najpierw trzeba przypomnieć sobie własność figury z planimetrii, a dopiero potem liczyć. Trzy własności wracają najczęściej:

  • równoległobok (także prostokąt, romb, kwadrat): przekątne dzielą się na pół, więc ich punkt przecięcia jest środkiem obu przekątnych;
  • kwadrat: przekątne są równe, więc odległość wierzchołka od środka to połowa przekątnej;
  • trójkąt prostokątny: środek okręgu opisanego to środek przeciwprostokątnej, a promień to połowa przeciwprostokątnej.

Przykład Równoległobok z punktu przecięcia przekątnych

W równoległoboku ABCDABCD dane są A=(−1,−1)A = (-1, -1) i B=(4,1)B = (4, 1). Przekątne przecinają się w punkcie P=(3,2)P = (3, 2). Oblicz długość boku BCBC.

  1. PP jest środkiem przekątnej ACAC, więc C=(2⋅3−(−1),  2⋅2−(−1))=(7,5)C = (2 \cdot 3 - (-1),\; 2 \cdot 2 - (-1)) = (7, 5).

  2. ∣BC∣=(7−4)2+(5−1)2=9+16=5|BC| = \sqrt{(7 - 4)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5

  3. Przy okazji: PP jest też środkiem BDBD, więc D=(2⋅3−4,  2⋅2−1)=(2,3)D = (2 \cdot 3 - 4,\; 2 \cdot 2 - 1) = (2, 3).

x-22468y-2246ABCDP
Przekątne równoległoboku dzielą się na pół. Nie muszą być prostopadłe ani równe.

Zadanie 5

2 pkt

W równoległoboku ABCDABCD dane są wierzchołki A=(−3,2)A = (-3, 2) i B=(5,−2)B = (5, -2). Przekątne ACAC i BDBD przecinają się w punkcie P=(4,4)P = (4, 4). Oblicz długość boku BCBC.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 5
Odpowiedź:
∣BC∣=|BC| = 1010

Rozwiązanie

  1. Przekątne równoległoboku dzielą się na pół, więc PP jest środkiem ACAC: C=(8+3,  8−2)=(11,6)C = (8 + 3,\; 8 - 2) = (11, 6).

  2. ∣BC∣=62+82=100=10|BC| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

2 pkt

Punkty A=(−2,−1)A = (-2, -1), B=(4,−1)B = (4, -1) i C=(4,7)C = (4, 7) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego o kącie prostym przy wierzchołku BB. Oceń prawdziwość zdań.

x-2246y-22468ABC

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

  1. Przeciwprostokątna ACAC ma długość 1010.
  2. Środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABCABC jest punkt (1,3)(1, 3).
  3. Promień okręgu opisanego na trójkącie ABCABC jest równy 1010.
  4. Pole trójkąta ABCABC jest równe 4848.
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 6

Odpowiedź:

  • Przeciwprostokątna ACAC ma długość 1010.: P (prawda)
  • Środkiem okręgu opisanego na trójkącie ABCABC jest punkt (1,3)(1, 3).: P (prawda)
  • Promień okręgu opisanego na trójkącie ABCABC jest równy 1010.: F (fałsz)
  • Pole trójkąta ABCABC jest równe 4848.: F (fałsz)

Rozwiązanie

  1. Przyprostokątne: ∣AB∣=4−(−2)=6|AB| = 4 - (-2) = 6 (poziomo), ∣BC∣=7−(−1)=8|BC| = 7 - (-1) = 8 (pionowo).

  2. ∣AC∣=36+64=10|AC| = \sqrt{36 + 64} = 10. Środek ACAC to (1,3)(1, 3) i to jest środek okręgu opisanego, a promień to 55.

  3. Pole: 12⋅6⋅8=24\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Nieznana współrzędna

Czasem jedna współrzędna jest nieznana, ale znasz długość odcinka. Wstawiasz wszystko do wzoru i dostajesz równanie. Wygodniej jest od razu podnieść obie strony do kwadratu, żeby pozbyć się pierwiastka:

(xB−xA)2+(yB−yA)2=∣AB∣2(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 = |AB|^2

Zwykle wychodzą dwa rozwiązania: punkt może leżeć po jednej albo po drugiej stronie.

Przykład Dwie możliwe współrzędne

Dane są punkty A=(2,−1)A = (2, -1) i B=(m,3)B = (m, 3). Odcinek ABAB ma długość 55. Wyznacz mm.

  1. Kwadrat długości: (m−2)2+(3−(−1))2=25(m - 2)^2 + (3 - (-1))^2 = 25.

  2. (m−2)2+16=25(m - 2)^2 + 16 = 25, więc (m−2)2=9(m - 2)^2 = 9.

  3. m−2=3m - 2 = 3 albo m−2=−3m - 2 = -3, czyli m=5m = 5 albo m=−1m = -1.

  4. Sprawdzenie dla m=−1m = -1: (−3)2+42=5\sqrt{(-3)^2 + 4^2} = 5. Zgadza się.

Zadanie 7

2 pkt

Dane są punkty A=(−1,4)A = (-1, 4) i B=(3,m)B = (3, m). Odcinek ABAB ma długość 55. Wyznacz wszystkie możliwe wartości mm.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 7

Odpowiedź:

  • m1=m_1 = 11
  • m2=m_2 = 77

Rozwiązanie

  1. 42+(m−4)2=52  ⇒  (m−4)2=94^2 + (m - 4)^2 = 5^2 \;\Rightarrow\; (m - 4)^2 = 9

  2. m−4=±3m - 4 = \pm 3, więc m=7m = 7 albo m=1m = 1.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Zadanie 8

2 pkt

Punkt PP leży na osi OxOx i jest jednakowo odległy od punktów A=(1,3)A = (1, 3) i B=(5,1)B = (5, 1). Wyznacz pierwszą współrzędną punktu PP.

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 8
Odpowiedź:
xP=x_P = 22

Rozwiązanie

  1. P=(x,0)P = (x, 0). Z ∣PA∣2=∣PB∣2|PA|^2 = |PB|^2: (x−1)2+32=(x−5)2+12(x - 1)^2 + 3^2 = (x - 5)^2 + 1^2

  2. x2−2x+10=x2−10x+26x^2 - 2x + 10 = x^2 - 10x + 26, więc 8x=168x = 16 i x=2x = 2.

  3. Sprawdzenie: ∣PA∣2=1+9=10|PA|^2 = 1 + 9 = 10 i ∣PB∣2=9+1=10|PB|^2 = 9 + 1 = 10. P=(2,0)P = (2, 0).

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}
długość odcinka: Pitagoras na kratce (karta, s. 22)
S=(xA+xB2,yA+yB2)S = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right)
środek odcinka: średnia współrzędnych (karta, s. 22)
xB=2xS−xA,yB=2yS−yAx_B = 2x_S - x_A, \quad y_B = 2y_S - y_A
drugi koniec, gdy znasz środek
roˊwnoległobok: przekątne dzielą się na poˊł\text{równoległobok: przekątne dzielą się na pół}
punkt przecięcia przekątnych to środek obu
troˊjkąt prostokątny: O=sˊrodek przeciwprostokątnej\text{trójkąt prostokątny: } O = \text{środek przeciwprostokątnej}
środek okręgu opisanego, promień to połowa przeciwprostokątnej
(m−p)2=k⇒m−p=±k(m - p)^2 = k \Rightarrow m - p = \pm\sqrt{k}
nieznana współrzędna: zwykle dwa rozwiązania

Inne poradniki

Wszystkie poradniki