Proste i płaszczyzny w przestrzeni

Rozwiązanie

1. Wspólny punkt musiałby leżeć w górnej podstawie, bo tam leży $EH$. Prosta $BF$ ma w tej płaszczyźnie tylko punkt $F$, a $F \notin EH$.

2. Kierunki są różne (pionowy i poziomy), więc proste nie są równoległe.

3. Nie przecinają się i nie są równoległe, więc są skośne.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Równoległe muszą mieć ten sam kierunek. $BF$ jest pionowa, a $EH$ pozioma.
• C
  Prosta $BF$ ma w płaszczyźnie górnej podstawy tylko punkt $F$, a $F$ nie leży na prostej $EH$. Wspólnego punktu nie ma.
• D
  Prawdą jest, że są prostopadłe (kąt między ich kierunkami to $90^\circ$), ale nie mają punktu wspólnego. To proste prostopadłe nieprzecinające się.

Odpowiedź:

• Proste $AE$ i $CG$ są równoległe.: P (prawda)
• Proste $BD$ i $FH$ są skośne.: F (fałsz)
• Proste $AC$ i $BF$ są skośne.: P (prawda)
• Proste $EG$ i $BD$ przecinają się.: F (fałsz)

Rozwiązanie

1. $AE \parallel CG$: dwie krawędzie boczne.

2. $BD \parallel FH$: przekątna górnej podstawy leży nad przekątną dolnej.

3. $AC$ i $BF$ oraz $EG$ i $BD$: różne kierunki i brak punktu wspólnego, więc skośne.

Rozwiązanie

1. Przesuwamy $AE$ równolegle na $BF$. Kąt między $BF$ a $BC$ to kąt ściany $BCGF$, czyli $90^\circ$.

2. $AE$ i $BC$ nie mają punktu wspólnego, więc to proste prostopadłe nieprzecinające się.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Te proste są prostopadłe, ale przecinają się w punkcie $A$.
• C
  $HG$ ma ten sam kierunek co $AB$ (obie biegną wzdłuż krawędzi $DC$). To proste równoległe.
• D
  Są skośne, ale po przesunięciu $AB$ na $DC$ widać kąt $DCH = 45^\circ$, nie $90^\circ$.

Rozwiązanie

1. $AF$ to przekątna przedniej ściany, a $DG$ to przekątna tylnej ściany o tym samym kierunku: $AF \parallel DG$.

2. Kąt między $AF$ i $BG$ jest równy kątowi $DGB$.

3. $|BD| = |DG| = |GB| = a\sqrt{2}$ (przekątne ścian), więc trójkąt $BDG$ jest równoboczny i kąt $DGB = 60^\circ$.

Rozwiązanie

1. Prosta równoległa do płaszczyzny nie ma z nią punktów wspólnych.

2. $BD$ leży w $ABCD$, a $CE$ i $BF$ mają z nią punkty $C$ i $B$. Zostaje $FH$ z górnej podstawy.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  $BD$ leży w płaszczyźnie $ABCD$. W tym kursie „równoległa” znaczy „bez punktów wspólnych”.
• C
  $CE$ przebija płaszczyznę $ABCD$ w punkcie $C$, więc ma z nią punkt wspólny.
• D
  $BF$ przebija płaszczyznę $ABCD$ w punkcie $B$. Jest do niej prostopadła, nie równoległa.

Rozwiązanie

1. Szukamy prostej prostopadłej do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny $BCGF$, np. do $BC$ i $BF$.

2. $AB \perp BC$ i $AB \perp BF$, więc $AB \perp$ płaszczyzna $BCGF$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  $EH$ ma kierunek $BC$, więc jest równoległa do płaszczyzny $BCGF$, a nie prostopadła.
• C
  $AG$ przebija tę płaszczyznę w punkcie $G$, ale nie pod kątem prostym. Kąt prosty z $BC$ i z $BF$ tworzy krawędź $AB$.
• D
  $FC$ to przekątna ściany $BCGF$, czyli leży w tej płaszczyźnie.

Odpowiedź:

• Prosta $EG$ jest równoległa do płaszczyzny $ABCD$.: P (prawda)
• Płaszczyzny $ABFE$ i $DCGH$ przecinają się wzdłuż prostej.: F (fałsz)
• Prosta $CG$ jest prostopadła do prostej $BD$.: P (prawda)
• Prosta $AG$ jest prostopadła do płaszczyzny $ABCD$.: F (fałsz)

Rozwiązanie

1. $EG$ leży w płaszczyźnie $EFGH$, równoległej do $ABCD$, więc jest do $ABCD$ równoległa.

2. Przednia i tylna ściana leżą w płaszczyznach równoległych.

3. Krawędź boczna jest prostopadła do całej podstawy, więc także do $BD$. Przekątna $AG$ nie jest krawędzią boczną i jest nachylona do podstawy.