Trójkąty i twierdzenie Pitagorasa

Rozwiązanie

1. $$c^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52$$
2. $$c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13}$$

Rozwiązanie

1. $$b^2 = 9^2 - 3^2 = 81 - 9 = 72$$
2. $$b = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$$

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  To $\sqrt{81 + 9} = \sqrt{90}$. Kwadraty zostały dodane, a szukasz przyprostokątnej, więc trzeba je odjąć. Wynik $3\sqrt{10} \approx 9{,}5$ jest dłuższy od przeciwprostokątnej.
• C
  To $9 - 3$. Twierdzenie Pitagorasa działa na kwadratach długości, nie na samych długościach.
• D
  To $\sqrt{9 - 3}$. Pod pierwiastkiem mają być kwadraty: $\sqrt{9^2 - 3^2}$.

Odpowiedź:

• $h =$ $12$
• $P =$ $60$

Rozwiązanie

1. Wysokość $CD$ trafia w środek podstawy, więc $|AD| = 5$. W trójkącie prostokątnym $ADC$ przeciwprostokątną jest ramię $|AC| = 13$.

2. $$h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144, \qquad h = 12$$
3. $$P = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$$

Odpowiedź:

• krótsza przyprostokątna:: $6$
• wysokość na przeciwprostokątną:: $4{,}8$

Rozwiązanie

1. $x^2 + (x + 2)^2 = 100$, czyli $2x^2 + 4x + 4 = 100$, więc $x^2 + 2x - 48 = 0$.

2. $\Delta = 4 + 192 = 196$, $x = \frac{-2 + 14}{2} = 6$ albo $x = \frac{-2 - 14}{2} = -8$. Długość jest dodatnia, więc przyprostokątne to $6$ i $8$.

3. Pole na dwa sposoby: $\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24$ i $\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 5h$. Stąd $5h = 24$, $h = 4{,}8$.

Odpowiedź:

• krótsza przyprostokątna:: $6$
• dłuższa przyprostokątna:: $6\sqrt{3}$

Rozwiązanie

1. Przeciwprostokątna $2a = 12$, więc $a = 6$. To krótsza przyprostokątna, naprzeciw kąta $30^\circ$.

2. Dłuższa przyprostokątna: $a\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.

3. Sprawdzenie z Pitagorasa: $6^2 + (6\sqrt{3})^2 = 36 + 108 = 144 = 12^2$.

Rozwiązanie

1. Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$, więc $a\sqrt{2} = 8$ i $a = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$.

2. $P = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32$. Krócej: $a^2 = \frac{d^2}{2} = \frac{64}{2} = 32$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  To $8^2$: przekątna potraktowana jak bok. Bok kwadratu jest krótszy od przekątnej $\sqrt{2}$ razy.
• C
  Tu przekątna została pomnożona przez $\sqrt{2}$, a nie podzielona: $a = 8\sqrt{2}$ i $a^2 = 128$. Bok jest krótszy od przekątnej, więc dzielisz.
• D
  Tak wychodzi z $a = \frac{8}{2} = 4$. Przekątna to $a\sqrt{2}$, a nie $2a$.

Odpowiedź:

• Trójkąt o bokach $9$, $12$, $15$ jest prostokątny.: P (prawda)
• Trójkąt o bokach $5$, $6$, $7$ jest rozwartokątny.: F (fałsz)
• Trójkąt o bokach $2$, $3$, $\sqrt{13}$ jest prostokątny.: P (prawda)
• Trójkąt o bokach $6$, $8$, $11$ jest ostrokątny.: F (fałsz)

Rozwiązanie

1. W każdym trójkącie porównujesz kwadrat najdłuższego boku z sumą kwadratów dwóch pozostałych.

2. $225 = 225$ (prostokątny), $49 < 61$ (ostrokątny), $13 = 13$ (prostokątny), $121 > 100$ (rozwartokątny).

Rozwiązanie

1. $x$ jest najdłuższy, więc to przeciwprostokątna: $x^2 = 5^2 + 8^2 = 89$.

2. $x = \sqrt{89}$. Liczba $89$ nie ma dzielnika, który jest kwadratem, więc to już najprostsza postać.

Rozwiązanie

1. Trzeci kąt: $|\sphericalangle C| = 180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.

2. Bok naprzeciw wierzchołka to bok, który go nie zawiera: naprzeciw $A$ leży $BC$, naprzeciw $B$ leży $AC$, naprzeciw $C$ leży $AB$.

3. Kąty $50^\circ < 60^\circ < 70^\circ$, więc $|BC| < |AB| < |AC|$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Kolejność odwrócona. Naprzeciw większego kąta leży dłuższy bok, więc bok naprzeciw kąta $70^\circ$ jest najdłuższy.
• C
  Tak byłoby, gdyby największy był kąt przy $C$. Ale $180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$, a to mniej niż $70^\circ$.
• D
  Bok $BC$ leży naprzeciw najmniejszego kąta ($50^\circ$ przy $A$), więc jest najkrótszy. Taka kolejność wyszłaby, gdyby najmniejszy był kąt przy $C$, a on ma $180^\circ - 50^\circ - 70^\circ = 60^\circ$.