Prawdopodobieństwo klasyczne

Rozwiązanie

1. Każdy wynik to para (pierwszy rzut, drugi rzut).

2. $|\Omega| = 2 \cdot 2 = 4$: $(O, O)$, $(O, R)$, $(R, O)$, $(R, R)$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  To wynik liczenia „dwa orły, orzeł i reszka, dwie reszki”. Ale $(O, R)$ i $(R, O)$ to dwa różne wyniki, a „orzeł i reszka” zdarza się dwa razy częściej niż „dwa orły”.
• C
  Tyle wyników ma jeden rzut. Przy dwóch rzutach każdy wynik pierwszego łączy się z każdym wynikiem drugiego: $2 \cdot 2$.
• D
  $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2$ to liczba wyników przy trzech rzutach.

Rozwiązanie

1. Wyniki to pary $(k, m)$, gdzie $k \in \{1, \ldots, 6\}$, $m \in \{O, R\}$.

2. $|\Omega| = 6 \cdot 2 = 12$.

Rozwiązanie

1. $|\Omega| = 20$.

2. $A = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$, $|A| = 8$.

3. $P(A) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.

Rozwiązanie

1. $|\Omega| = 4 + 6 + 5 = 15$, $|A| = 4$.

2. $P(A) = \frac{4}{15}$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  W mianowniku jest liczba kul innych niż białe. A w mianowniku stoją wszystkie wyniki, także białe kule: $15$.
• C
  Są trzy kolory, ale kolory nie są jednakowo prawdopodobne, bo jest ich różna liczba. Zdarzeniem elementarnym jest wylosowanie konkretnej kuli.
• D
  To prawdopodobieństwo, że kula nie będzie biała, czyli zdarzenia przeciwnego.

Rozwiązanie

1. $|\Omega| = 36$.

2. $A = \{(4, 6), (5, 5), (6, 4)\}$, $|A| = 3$.

3. $P(A) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

• B
  Pominięta kolejność: $(4, 6)$ i $(6, 4)$ to dwa różne wyniki. Tylko $(5, 5)$ występuje raz.
• C
  $11$ to liczba możliwych sum ($2, 3, \ldots, 12$). Sumy nie są jednakowo prawdopodobne, więc nie mogą być zdarzeniami elementarnymi.
• D
  W liczniku jest suma oczek, a powinna być liczba wyników, które dają tę sumę.

Odpowiedź:

• Suma oczek $7$ jest bardziej prawdopodobna niż każda inna suma.: P (prawda)
• Prawdopodobieństwo, że na obu kostkach wypadnie tyle samo oczek, jest równe $\frac{1}{6}$.: P (prawda)
• Suma oczek $2$ i suma oczek $3$ są jednakowo prawdopodobne.: F (fałsz)
• Prawdopodobieństwo, że liczby oczek będą się różnić o $2$, jest równe $\frac{4}{36}$.: F (fałsz)

Rozwiązanie

1. W każdym zdaniu licz pola tabeli $6 \times 6$, pamiętając, że $(a, b)$ i $(b, a)$ to różne pola.

2. Suma $7$: $6$ pól; równe oczka: $6$ pól; suma $2$: $1$ pole, suma $3$: $2$ pola; różnica $2$: $8$ pól.

Rozwiązanie

1. $A'$: suma nie większa niż $3$, $A' = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1)\}$, $|A'| = 3$.

2. $P(A') = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$.

3. $P(A) = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$ (czyli $\frac{33}{36}$).

Odpowiedź:

• Zdarzenie „suma oczek jest równa $13$” jest niemożliwe.: P (prawda)
• Zdarzenie „suma oczek jest co najmniej równa $2$” jest pewne.: P (prawda)
• Zdarzeniem przeciwnym do „co najmniej jedna szóstka” jest „dwie szóstki”.: F (fałsz)
• Jeśli $P(A) = \frac{5}{36}$, to $P(A') = \frac{31}{36}$.: P (prawda)

Rozwiązanie

1. Niemożliwe: żaden wynik nie sprzyja. Pewne: sprzyjają wszystkie.

2. $A'$ zawiera dokładnie te wyniki, których nie ma w $A$, i $P(A') = 1 - P(A)$.