Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową

Największe pole z danej długości siatki, najwyższy punkt lotu piłki, cena biletu z największym przychodem. Na maturze to zwykle zadanie otwarte (w 2024 i 2025 roku za 4 punkty), a zdający zdobywali w nim średnio niecałe 40% punktów. Dobra wiadomość: każde takie zadanie rozwiązuje się tym samym przepisem w pięciu krokach.

Dział XIII: Optymalizacja i rachunek różniczkowy. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 45 minut, 3 przykłady i 8 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: 5 października 2026.

Po tym poradniku:

zamieniasz treść zadania na funkcję kwadratową jednej zmiennej
ustalasz dziedzinę, czyli dla jakich $x$ sytuacja ma sens
znajdujesz największą albo najmniejszą wartość z wierzchołka paraboli
odpowiadasz dokładnie na pytanie z treści i zbierasz punkty za każdy krok

Przepis w pięciu krokach

Zadanie optymalizacyjne pyta o najlepszą wartość: największe pole, najmniejszy koszt, największy przychód. Jeśli ta wielkość da się zapisać jako funkcja kwadratowa jednej zmiennej, odpowiedź leży w wierzchołku paraboli.

Przepis, który działa w każdym takim zadaniu:

Krok 1. Oznacz jedną wielkość jako $x$ i napisz, co oznacza (np. „ $x$ to długość boku w metrach”).
Krok 2. Wyraź pozostałe wielkości przez $x$ , korzystając z warunku z treści (np. długości siatki).
Krok 3. Zapisz funkcję, którą masz zoptymalizować, np. $P(x)$ dla pola.
Krok 4. Ustal dziedzinę: dla jakich $x$ wszystkie wymiary są dodatnie.
Krok 5. Policz $p = \frac{-b}{2a}$ , sprawdź, czy $p$ leży w dziedzinie, i odpowiedz na pytanie z treści.

Sprawdź to w praktyce. Masz $20$ m siatki i ogradzasz prostokątny ogródek przy ścianie domu, więc siatka idzie tylko na trzy boki. Poszukaj suwakiem największego pola, zanim policzysz je wzorem.

Całe zadanie krok po kroku: od wzoru pola do wierzchołka paraboli.

Co pokazuje animacja

Ogródek przy ścianie ogrodzony 20 m siatki na trzech bokach: dwa boki x i bok 20 − 2x wzdłuż ściany. Gdy x rośnie od 1 do 9 m, pole P(x) = x(20 − 2x) najpierw rośnie, potem maleje, a punkt rysuje parabolę. Wierzchołek: p = −20 / (2 · (−2)) = 5, P(5) = 50 m². Dziedzina x ∈ (0; 10), 5 w niej leży. Odpowiedź: ogródek 5 m na 10 m.

Model: funkcja z treści zadania

Przykład Ogródek przy ścianie, krok po kroku

Ogródek w kształcie prostokąta przylega jednym bokiem do ściany domu. Pozostałe trzy boki ogradzamy siatką o długości $20$ m. Jakie wymiary powinien mieć ogródek, żeby jego pole było największe?

Krok 1. $x$ to długość każdego z dwóch boków prostopadłych do ściany (w metrach).
Krok 2. Siatka idzie na dwa boki $x$ i jeden bok równoległy do ściany, więc ten bok ma długość $\hl{20 - 2x}$
Komentarz:
Wzdłuż ściany siatki nie ma. Odejmujemy tylko dwa boki $x$ .
Typowy błąd
Źle:
Krok 2. Siatka idzie na wszystkie cztery boki, więc bok równoległy do ściany ma długość $\pen{10 - x}$
Co poszło nie tak:
Ściana nie potrzebuje siatki. Z $2x + 2y = 20$ wyjdzie kwadrat $5 \times 5$ i pole $25$ m² zamiast $50$ m².
Krok 3. Pole to iloczyn boków: $P(x) = x(20 - 2x)$
$P(x) = \hl{-2x^2 + 20x}$
Krok 4. Oba wymiary muszą być dodatnie: $x > 0$ i $20 - 2x > 0$ , czyli $x \in \hl{(0; 10)}$
Komentarz:
Dziedzina mówi, czy wierzchołek w ogóle wchodzi w grę. Gdy zadanie o nią pyta, jej brak kosztuje punkt.
Krok 5. $a = -2 < 0$ , więc największa wartość jest w wierzchołku: $p = \frac{-20}{2 \cdot (-2)} = \hl{5}$
Komentarz:
Ramiona w dół: wierzchołek to najwyższy punkt paraboli.
$5 \in (0; 10)$ , więc wierzchołek leży w dziedzinie. Drugi wymiar: $20 - 2 \cdot 5 = \hl{10}$ .
Odpowiedź: ogródek $5$ m na $10$ m (bok $10$ m wzdłuż ściany). Jego pole to $P(5) = 50$ m².

Zadanie 1

1 pkt

Obwód prostokąta jest równy $24$ . Jeden z jego boków ma długość $x$ . Pole tego prostokąta jako funkcja $x$ to:

A.
$P(x) = x(12 - x)$
B.
$P(x) = x(24 - x)$
C.
$P(x) = x(24 - 2x)$
D.
$P(x) = 2x(12 - x)$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $P(x) = x(12 - x)$

Rozwiązanie

$2x + 2y = 24$ , więc $y = 12 - x$ .
$P(x) = x \cdot y = x(12 - x)$ .

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
$24$ to suma czterech boków. Dwa sąsiednie boki dają razem tylko połowę obwodu.
C
Tak byłoby dla ogrodzenia przy ścianie (trzy boki). Prostokąt ma cztery boki: $2x + 2y = 24$ .
D
Pole prostokąta to iloczyn dwóch boków, bez mnożenia przez $2$ . Tak liczy się obwód, nie pole.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Zadanie 2

2 pkt

Suma dwóch liczb jest równa $14$ . Jedną z nich oznaczamy przez $x$ . Zapisz iloczyn tych liczb jako funkcję $x$ , a potem podaj, dla jakiego $x$ iloczyn jest największy i ile wtedy wynosi.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$f(x) =$ $x\left(14 - x\right)$
$x =$ $7$
$f_{max} =$ $49$

Rozwiązanie

$f(x) = x(14 - x) = -x^2 + 14x$ , ramiona w dół.
$p = 7$ , $f(7) = 7 \cdot 7 = 49$ .
Największy iloczyn to $49$ , gdy obie liczby są równe $7$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Dziedzina i wierzchołek

Dziedzina to nie formalność. Mówi, które $x$ w ogóle opisują prawdziwą sytuację: długość, cena czy czas nie mogą być ujemne, a bok figury nie może mieć długości $0$ .

Potem są dwie możliwości:

$p$ leży w dziedzinie: dla $a < 0$ w wierzchołku jest wartość największa, dla $a > 0$ najmniejsza;
$p$ leży poza dziedziną: wierzchołek odpada, a szukana wartość jest na końcu przedziału (patrz rozdział o wartościach w przedziale).

Gdy dziedziną jest

\langle 6; 9\rangle

, wierzchołek

x = 5

odpada. Na tym przedziale funkcja maleje, więc największa wartość jest w

x = 6

P(6) = 48

. Oś

y

w dziesiątkach m².

Przykład Najmniejsza wartość (ramiona w górę)

Różnica dwóch liczb jest równa $6$ . Znajdź te liczby, jeśli ich iloczyn ma być najmniejszy.

$x$ to mniejsza liczba, większa to $x + 6$ . Tu liczby mogą być ujemne, więc dziedziną jest $\mathbb{R}$ .
$f(x) = x(x + 6) = x^2 + 6x$
$a = 1 > 0$ , więc w wierzchołku jest wartość najmniejsza: $p = \frac{-6}{2} = -3$ .
Liczby to $-3$ i $3$ , a ich iloczyn $f(-3) = -9$ .

Zadanie 3

2 pkt

Oceń prawdziwość zdań.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

Jeśli wierzchołek paraboli z ramionami w dół leży w dziedzinie, to funkcja ma w nim wartość największą.
Bok prostokąta w zadaniu optymalizacyjnym może mieć długość $0$ .
Dla $P(x) = x(20 - 2x)$ i dziedziny $\langle 6; 9\rangle$ największa wartość jest dla $x = 5$ .
Dla funkcji o ramionach w górę wierzchołek daje wartość najmniejszą.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

Jeśli wierzchołek paraboli z ramionami w dół leży w dziedzinie, to funkcja ma w nim wartość największą.: P (prawda)
Bok prostokąta w zadaniu optymalizacyjnym może mieć długość $0$ .: F (fałsz)
Dla $P(x) = x(20 - 2x)$ i dziedziny $\langle 6; 9\rangle$ największa wartość jest dla $x = 5$ .: F (fałsz)
Dla funkcji o ramionach w górę wierzchołek daje wartość najmniejszą.: P (prawda)

Rozwiązanie

Najpierw znak $a$ (największa czy najmniejsza wartość), potem sprawdzenie, czy $p$ należy do dziedziny.
Jeśli nie należy, szukana wartość jest na końcu przedziału.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

1 pkt

Suma dwóch liczb nieujemnych jest równa $10$ . Jedną z nich oznaczamy przez $x$ . Dla jakiego $x$ suma ich kwadratów jest najmniejsza i ile ona wynosi?

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$x =$ $5$
$S_{min} =$ $50$

Rozwiązanie

$S(x) = x^2 + (10 - x)^2 = 2x^2 - 20x + 100, \quad x \in \langle 0; 10\rangle$
$p = \frac{20}{4} = 5$ leży w dziedzinie, a $a > 0$ , więc to minimum.
$S(5) = 25 + 25 = 50$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Zadania jak na maturze

Przykład Dwie zagrody obok siebie

Z siatki o długości $60$ m trzeba ogrodzić prostokątny teren i podzielić go siatką na dwie równe zagrody (środkowa siatka jest równoległa do dwóch boków). Oblicz wymiary terenu, przy których łączne pole zagród jest największe.

Krok 1. $x$ to długość każdej z trzech równoległych siatek: dwóch boków i przegrody.
Komentarz:
Przegroda jest równoległa do dwóch boków, więc ma tę samą długość $x$ .
Krok 2. Trzy siatki $x$ zabierają $3x$ . Na dwa pozostałe boki, każdy długości $y$ , zostaje reszta: $2y = 60 \hl{- 3x}$
Typowy błąd
Źle:
Krok 2. Dwa boki $x$ zabierają $2x$ . Na dwa pozostałe boki, każdy długości $y$ , zostaje reszta: $2y = 60 \pen{- 2x}$
Co poszło nie tak:
Pominięta przegroda (ten błąd opisała CKE w 2024). Wyjdzie kwadrat $15 \times 15$ , a na niego brakuje $15$ m siatki.
$y = \hl{30 - \tfrac{3}{2}x}$
Krok 3. $P(x) = x\left(30 - \tfrac{3}{2}x\right) = \hl{-\tfrac{3}{2}x^2 + 30x}$
Krok 4. $x > 0$ i $30 - \frac{3}{2}x > 0$ , czyli $x \in \hl{(0; 20)}$ .
Krok 5. $p = \frac{-30}{2 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} = \frac{-30}{-3} = \hl{10}$
Komentarz:
$a < 0$ , więc w wierzchołku jest maksimum. $10 \in (0; 20)$ , więc wierzchołek leży w dziedzinie.
Dla $x = 10$ : $y = 30 - 15 = \hl{15}$ .
Odpowiedź: teren $10$ m na $15$ m, łączne pole $150$ m² (każda zagroda $10$ m na $7{,}5$ m).

Zadanie 5

1 pkt

Piłkę rzucono pionowo w górę. Jej wysokość w metrach po $t$ sekundach to $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ . Najwyżej piłka jest po:

A.
$2$ s
B.
$4$ s
C.
$21$ s
D.
$1$ s

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $2$ s

Rozwiązanie

$t = \frac{-b}{2a} = \frac{-20}{-10} = 2$ s.
Wtedy $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ m.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Po $4$ s piłka wraca na wysokość startu: $h(4) = 1$ . Wzór na $p$ ma w mianowniku $2a$ , a nie $a$ .
C
$21$ to największa wysokość w metrach, $h(2) = 21$ . Pytanie dotyczy czasu.
D
Tak wychodzi, gdy w mianowniku jest $4a = -20$ zamiast $2a$ (pomylone z $q = \frac{-\Delta}{4a}$ ). Poprawnie $\frac{-20}{2 \cdot (-5)} = \frac{-20}{-10} = 2$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

1 pkt

Liczbę klientów sklepu w $n$ -tym dniu promocji opisuje wzór $K(n) = -2n^2 + 45n + 100$ , gdzie $n \in \{1, 2, \ldots, 30\}$ . Najwięcej klientów było w dniu numer:

A.
$11$
B.
$12$
C.
$11{,}25$
D.
$353$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $11$

Rozwiązanie

$p = \frac{-45}{-4} = 11{,}25$ , a $a < 0$ , więc parabola ma tam maksimum. Dla naturalnych $n$ porównujesz $n = 11$ i $n = 12$ .
$K(11) = -242 + 495 + 100 = 353$ , $K(12) = -288 + 540 + 100 = 352$ . Najwięcej klientów było $11$ . dnia.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
$p = 11{,}25$ zaokrąglone w górę. Policz oba sąsiednie dni: $K(12) = 352$ , a $K(11) = 353$ .
C
To $p$ wierzchołka, ale $n$ to numer dnia, czyli liczba naturalna.
D
To największa liczba klientów, $K(11)$ . Pytanie dotyczy numeru dnia, czyli argumentu.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Zadanie 7

4 pkt

Na koncert przy cenie biletu $20$ zł przychodzi $300$ osób. Każda obniżka ceny o $1$ zł przyciąga $30$ dodatkowych osób. Niech $x$ oznacza obniżkę w złotych. Zapisz przychód $R(x)$ w postaci ogólnej, a potem podaj cenę biletu, przy której przychód jest największy, i ten przychód.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$R(x) =$ $-30x^{2} + 300x + 6000$
cena biletu (zł):: $15$
największy przychód (zł):: $6750$

Rozwiązanie

$R(x) = (20 - x)(300 + 30x) = -30x^2 + 300x + 6000, \quad x \in \langle 0; 20)$
$p = \frac{-300}{-60} = 5$ leży w dziedzinie, $a < 0$ , więc to maksimum.
Cena: $20 - 5 = 15$ zł, osób: $450$ , przychód: $15 \cdot 450 = 6750$ zł.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Zadanie 8

2 pkt

Krawędzie podstawy prostopadłościanu mają długości $x$ i $2x$ , a suma długości wszystkich jego krawędzi to $56$ . Ułóż kroki wyznaczania największego pola powierzchni całkowitej.

Kroki do ułożenia we właściwej kolejności:

$P(3) = 126$ , krawędzie mają długości $3$ , $6$ i $5$ .
$p = \frac{-84}{-28} = 3$ leży w dziedzinie, a $a < 0$ , więc to maksimum.
$P(x) = 2(2x^2 + xh + 2xh) = -14x^2 + 84x$ .
$4(x + 2x + h) = 56$ , więc $h = 14 - 3x$ i $x \in \left(0; \frac{14}{3}\right)$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Właściwa kolejność:

$4(x + 2x + h) = 56$ , więc $h = 14 - 3x$ i $x \in \left(0; \frac{14}{3}\right)$ .
$P(x) = 2(2x^2 + xh + 2xh) = -14x^2 + 84x$ .
$p = \frac{-84}{-28} = 3$ leży w dziedzinie, a $a < 0$ , więc to maksimum.
$P(3) = 126$ , krawędzie mają długości $3$ , $6$ i $5$ .

Rozwiązanie

Zależność i dziedzina, potem wzór pola, wierzchołek i wynik. Za każdy z tych etapów CKE daje osobny punkt.
Pole liczysz z dwójką przed nawiasem: bez niej wychodzi $-7x^2 + 42x$ , czyli połowa pola.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

$x \to \text{reszta przez } x \to f(x) \to D \to p$: przepis: zmienna, zależność, funkcja, dziedzina, wierzchołek
$p = \frac{-b}{2a}, \quad f_{opt} = f(p)$: argument i wartość w wierzchołku
$a < 0 \Rightarrow \max, \quad a > 0 \Rightarrow \min$: znak a mówi, co jest w wierzchołku
$p \notin D \Rightarrow \text{sprawdź końce przedziału}$: wierzchołek poza dziedziną
$P(x) = x(20 - 2x)$: ogródek przy ścianie: 3 boki z siatki

Wygląd i czytelność

Zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową

Przepis w pięciu krokach

Model: funkcja z treści zadania

Przykład Ogródek przy ścianie, krok po kroku

Zadanie 1

Zadanie 2

Dziedzina i wierzchołek

Przykład Najmniejsza wartość (ramiona w górę)

Zadanie 3

Zadanie 4

Zadania jak na maturze

Przykład Dwie zagrody obok siebie

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

1Przepis w pięciu krokach

2Model: funkcja z treści zadania

Przykład Ogródek przy ścianie, krok po kroku

Zadanie 1

Zadanie 2

3Dziedzina i wierzchołek

Przykład Najmniejsza wartość (ramiona w górę)

Zadanie 3

Zadanie 4

4Zadania jak na maturze

Przykład Dwie zagrody obok siebie

Zadanie 5

Zadanie 6

Zadanie 7

Zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

Przepis w pięciu krokach

Model: funkcja z treści zadania

Dziedzina i wierzchołek

Zadania jak na maturze