skumane

Wygląd i czytelność

JasnyCiemnyJak w systemie
ZwykłyWysoki
StandardowyCzytelnySzeroki

„Czytelny” (Atkinson Hyperlegible) ma wyraźnie różne litery, np. l, I i 1. „Szeroki” (Lexend) ma więcej miejsca między literami.

AAAA
ZwykłeWiększe
WłączoneOgraniczone

Przykład: wierzchołek paraboli leży w punkcie W = (p, q). Sprawdź, czy tak czyta się wygodnie.

Zacznij za darmo

Układy równań liniowych

Dwie niewiadome i dwa równania, które muszą być spełnione jednocześnie. Na maturze układ rzadko jest osobnym zadaniem, ale pojawia się wszędzie: w zadaniach tekstowych, przy wzorze prostej, w geometrii. Wystarczą dwie metody: podstawianie i przeciwne współczynniki. Tu ćwiczysz obie, aż rachunek stanie się odruchem.

Dział IV: Układy równań. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 30 minut, 2 przykłady i 7 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: .

Po tym poradniku:

  • sprawdzasz, czy para liczb jest rozwiązaniem układu
  • rozwiązujesz układ metodą podstawiania
  • rozwiązujesz układ metodą przeciwnych współczynników
  • pozbywasz się ułamków, zanim zaczniesz liczyć

Co to znaczy rozwiązać układ

Układ równań to kilka równań połączonych klamrą. Klamra znaczy „i jednocześnie”:

{2x+y=7x−y=2\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}

Rozwiązaniem jest para liczb (x,y)(x, y), która spełnia oba równania naraz. Samo pierwsze równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań: (0,7)(0, 7), (1,5)(1, 5), (3,1)(3, 1) i tak dalej. Drugie też. Szukasz tej jednej pary, która pasuje do obu.

Tu jest nią x=3x = 3, y=1y = 1. Sprawdzenie: 2⋅3+1=72 \cdot 3 + 1 = 7 i 3−1=23 - 1 = 2. Oba równania się zgadzają.

xy−2246−4−224682x + y = 7x − y = 2(3, 1)
Każde równanie to prosta. Rozwiązanie układu to punkt, w którym proste się przecinają. Więcej o tym w następnym rozdziale.

Zadanie 1

1 pkt

Która para liczb jest rozwiązaniem układu {2x+y=7x−y=2\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}?

  • A.
    x=3x = 3, y=1y = 1
  • B.
    x=1x = 1, y=5y = 5
  • C.
    x=4x = 4, y=2y = 2
  • D.
    x=1x = 1, y=3y = 3
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 1
Odpowiedź:
A. x=3x = 3, y=1y = 1

Rozwiązanie

  1. Wstawiamy każdą parę do obu równań.

  2. Tylko dla x=3x = 3, y=1y = 1: 2⋅3+1=72 \cdot 3 + 1 = 7 oraz 3−1=23 - 1 = 2.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Pierwsze równanie się zgadza (2+5=72 + 5 = 7), ale drugie nie: 1−5=−41 - 5 = -4. Para musi pasować do obu równań.
  • C
    Drugie równanie się zgadza (4−2=24 - 2 = 2), ale pierwsze nie: 8+2=108 + 2 = 10. Sprawdzone jest tylko jedno równanie.
  • D
    To zamienione miejscami xx i yy. Para (x,y)(x, y) ma ustaloną kolejność: najpierw xx, potem yy.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Metoda podstawiania

Pomysł: z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą, a potem wstaw ją do drugiego równania. Zostaje równanie z jedną niewiadomą, które już umiesz rozwiązać.

Ta metoda jest najwygodniejsza, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik 11 albo −1-1, bo wtedy wyznaczasz ją bez ułamków.

Przykład Podstawianie krok po kroku

Rozwiąż układ {x−3y=12x+y=9\begin{cases} x - 3y = 1 \\ 2x + y = 9 \end{cases}

  1. W pierwszym równaniu xx ma współczynnik 11. Wyznaczamy go: x=1+3yx = 1 + 3y.

  2. Wstawiamy do drugiego równania cały nawias: 2(1+3y)+y=92(1 + 3y) + y = 9

  3. 2+6y+y=9  ⇒  7y=7  ⇒  y=12 + 6y + y = 9 \;\Rightarrow\; 7y = 7 \;\Rightarrow\; y = 1

  4. Wracamy do wzoru na xx: x=1+3⋅1=4x = 1 + 3 \cdot 1 = 4.

  5. Sprawdzenie: 4−3⋅1=14 - 3 \cdot 1 = 1 i 2⋅4+1=92 \cdot 4 + 1 = 9. Odpowiedź: x=4x = 4, y=1y = 1.

Zadanie 2

2 pkt

Rozwiąż układ równań {y=3x−52x+y=10\begin{cases} y = 3x - 5 \\ 2x + y = 10 \end{cases}

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 2

Odpowiedź:

  • x=x = 33
  • y=y = 44

Rozwiązanie

  1. Wstawiamy y=3x−5y = 3x - 5 do drugiego równania: 2x+(3x−5)=102x + (3x - 5) = 10.

  2. 5x=155x = 15, więc x=3x = 3, a y=3⋅3−5=4y = 3 \cdot 3 - 5 = 4.

  3. Sprawdzenie: 2⋅3+4=102 \cdot 3 + 4 = 10. Odpowiedź: x=3x = 3, y=4y = 4.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Metoda przeciwnych współczynników

Pomysł: pomnóż równania przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, np. 4y4y i −4y-4y. Potem dodaj równania stronami. Ta niewiadoma znika.

Ta metoda jest wygodniejsza, gdy żaden współczynnik nie jest równy 11, bo podstawianie dałoby ułamki.

Przykład Przeciwne współczynniki krok po kroku

Rozwiąż układ {3x+2y=75x−4y=19\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 5x - 4y = 19 \end{cases}

  1. Przy yy stoją 22 i −4-4. Mnożymy pierwsze równanie przez 22, obie strony: 6x+4y=146x + 4y = 14.

  2. Dodajemy stronami do drugiego równania: (6x+4y)+(5x−4y)=14+19  ⇒  11x=33  ⇒  x=3(6x + 4y) + (5x - 4y) = 14 + 19 \;\Rightarrow\; 11x = 33 \;\Rightarrow\; x = 3

  3. Wstawiamy x=3x = 3 do pierwszego równania: 9+2y=79 + 2y = 7, więc 2y=−22y = -2 i y=−1y = -1.

  4. Sprawdzenie w drugim równaniu: 5⋅3−4⋅(−1)=15+4=195 \cdot 3 - 4 \cdot (-1) = 15 + 4 = 19. Odpowiedź: x=3x = 3, y=−1y = -1.

Zadanie 3

2 pkt

Rozwiąż układ równań {2x+3y=13x−2y=8\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 8 \end{cases}

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 3

Odpowiedź:

  • x=x = 22
  • y=y = −1-1

Rozwiązanie

  1. {4x+6y=29x−6y=24\begin{cases} 4x + 6y = 2 \\ 9x - 6y = 24 \end{cases}

  2. Dodajemy stronami: 13x=2613x = 26, więc x=2x = 2.

  3. Z pierwszego równania: 4+3y=14 + 3y = 1, więc 3y=−33y = -3 i y=−1y = -1.

  4. Sprawdzenie: 3⋅2−2⋅(−1)=6+2=83 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 6 + 2 = 8. Odpowiedź: x=2x = 2, y=−1y = -1.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

1 pkt

Dany jest układ {4x+3y=18x−y=1\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ x - y = 1 \end{cases} Który krok od razu usuwa niewiadomą yy?

  • A.
    drugie równanie pomnożyć przez 33 i dodać równania stronami
  • B.
    drugie równanie pomnożyć przez 33 i odjąć je od pierwszego
  • C.
    drugie równanie pomnożyć przez 44 i odjąć je od pierwszego
  • D.
    dodać równania stronami bez mnożenia
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 4
Odpowiedź:
A. drugie równanie pomnożyć przez 33 i dodać równania stronami

Rozwiązanie

  1. Przy yy stoją 33 i −1-1. Po pomnożeniu drugiego równania przez 33 mamy 3x−3y=33x - 3y = 3.

  2. Dodajemy: 7x=217x = 21, x=3x = 3, a z x−y=1x - y = 1 mamy y=2y = 2.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Po odjęciu 3y−(−3y)=6y3y - (-3y) = 6y, więc yy zostaje. Przy współczynnikach przeciwnych równania się dodaje.
  • C
    Ten krok usuwa xx (4x−4x=04x - 4x = 0), a nie yy. Też prowadzi do wyniku, ale pytanie było o yy.
  • D
    Wtedy 3y+(−y)=2y3y + (-y) = 2y, więc yy nie znika. Współczynniki muszą być liczbami przeciwnymi, a 33 i −1-1 nimi nie są.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Układy z ułamkami

Ułamki w układzie to tylko przeszkoda w rachunkach. Pierwszy krok: pomnóż każde równanie osobno przez wspólny mianownik jego ułamków. Dostajesz zwykły układ z liczbami całkowitymi.

Przykład: w równaniu x2+y3=4\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 mianowniki to 22 i 33, więc mnożysz przez 66:

3x+2y=243x + 2y = 24

Zadanie 5

1 pkt

Równanie x3−y4=2\frac{x}{3} - \frac{y}{4} = 2 po pomnożeniu przez wspólny mianownik ma postać:

  • A.
    4x−3y=244x - 3y = 24
  • B.
    4x−3y=24x - 3y = 2
  • C.
    3x−4y=243x - 4y = 24
  • D.
    x−y=24x - y = 24
Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 5
Odpowiedź:
A. 4x−3y=244x - 3y = 24

Rozwiązanie

  1. Wspólny mianownik 33 i 44 to 1212: 12⋅x3−12⋅y4=12⋅212 \cdot \frac{x}{3} - 12 \cdot \frac{y}{4} = 12 \cdot 2, czyli 4x−3y=244x - 3y = 24.

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

  • B
    Prawa strona nie została pomnożona. Mnożysz całe równanie, więc 22 też razy 1212.
  • C
    Mianowniki przeszły do liczników. 12⋅x3=4x12 \cdot \frac{x}{3} = 4x, bo 12:3=412 : 3 = 4.
  • D
    Mianowniki zostały skreślone, a pomnożona tylko prawa strona. Każdy ułamek razy 1212 daje 4x4x i 3y3y.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

2 pkt

Rozwiąż układ równań {x2+y3=4x4−y6=0\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 0 \end{cases}

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 6

Odpowiedź:

  • x=x = 44
  • y=y = 66

Rozwiązanie

  1. Po wymnożeniu: {3x+2y=243x−2y=0\begin{cases} 3x + 2y = 24 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases}

  2. Dodajemy stronami: 6x=246x = 24, więc x=4x = 4.

  3. Z drugiego równania: 12−2y=012 - 2y = 0, więc y=6y = 6.

  4. Sprawdzenie: 42+63=2+2=4\frac{4}{2} + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 i 44−66=0\frac{4}{4} - \frac{6}{6} = 0.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Zadanie 7

2 pkt

Rozwiąż układ równań {x−12+y=5x−y+12=3\begin{cases} \frac{x - 1}{2} + y = 5 \\ x - \frac{y + 1}{2} = 3 \end{cases}

Odpowiedź i rozwiązanie, zadanie 7

Odpowiedź:

  • x=x = 55
  • y=y = 33

Rozwiązanie

  1. Mnożymy oba równania przez 22: x−1+2y=10x - 1 + 2y = 10 oraz 2x−(y+1)=62x - (y + 1) = 6.

  2. Porządkujemy: {x+2y=112x−y=7\begin{cases} x + 2y = 11 \\ 2x - y = 7 \end{cases}

  3. Z drugiego y=2x−7y = 2x - 7, więc x+2(2x−7)=11x + 2(2x - 7) = 11, 5x=255x = 25, x=5x = 5 i y=3y = 3.

  4. Sprawdzenie: 5−12+3=5\frac{5 - 1}{2} + 3 = 5 i 5−3+12=35 - \frac{3 + 1}{2} = 3.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}
rozwiązanie to para (x, y), która spełnia oba równania
x=…  ⇒  wstaw do drugiegox = \ldots \;\Rightarrow\; \text{wstaw do drugiego}
podstawianie: gdy któraś niewiadoma ma współczynnik 1 albo −1
4y+(−4y)=04y + (-4y) = 0
przeciwne współczynniki: mnożysz całe równanie, potem dodajesz stronami
x2+y3=4  ∣⋅6\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 4 \;\Big|\cdot 6
ułamki: najpierw pomnóż przez wspólny mianownik

Inne poradniki

Wszystkie poradniki