Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Sinus, cosinus i tangens to po prostu ilorazy dwóch boków trójkąta prostokątnego. Nie zależą od tego, jak duży jest trójkąt, tylko od kąta. Dlatego da się je spisać w tabelę, która czeka na Ciebie na karcie wzorów. W tym rozdziale uczysz się, który bok dzielić przez który, skąd biorą się wartości dla $30^\circ$ , $45^\circ$ i $60^\circ$ i jak czytać tablicę.

Dział VII: Trygonometria. Matura podstawowa i rozszerzona. Około 45 minut, 3 przykłady i 8 zadań z rozwiązaniami. Aktualizacja: 27 września 2026.

Po tym poradniku:

nazywasz boki trójkąta prostokątnego względem kąta: naprzeciw kąta, przy kącie, przeciwprostokątna
obliczasz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ z długości boków
znasz (albo szybko wyprowadzasz) wartości dla $30^\circ$ , $45^\circ$ i $60^\circ$
odczytujesz z tablicy wartość funkcji i przybliżoną miarę kąta

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Weź trójkąt prostokątny i jeden z jego kątów ostrych, $\alpha$ . Boki nazywasz względem tego kąta:

przeciwprostokątna $c$ : najdłuższy bok, naprzeciw kąta prostego;
przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ : tu $a$ ;
przyprostokątna przy kącie $\alpha$ : tu $b$ , jedno z ramion kąta $\alpha$ .

Oznaczenia są takie jak na karcie wzorów: kąt prosty w $C$ , kąt $\alpha$ w $A$ .

Kąt

\alpha

przy wierzchołku

A

: bok

a

leży naprzeciw niego, bok

b

przy nim.

\sin\alpha = \frac{a}{c} \qquad \cos\alpha = \frac{b}{c} \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}

naprzeciw przez przeciwprostokątną, przy kącie przez przeciwprostokątną, naprzeciw przez przy kącie

Sprawdź na suwakach, że wielkość trójkąta nie ma znaczenia. Gdy powiększasz trójkąt, wszystkie boki rosną tyle samo razy, więc ilorazy się nie zmieniają. Zmieniają się dopiero, gdy ruszysz kąt.

Przykład Trzy funkcje z trzech boków

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości $5$ i $12$ . Kąt $\alpha$ leży naprzeciw krótszej przyprostokątnej. Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ .

Najpierw przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: $c^2 = 5^2 + 12^2 = \hl{25 + 144} = 169$
Komentarz:
Najpierw kwadraty, potem suma, na końcu pierwiastek. $\sqrt{25 + 144}$ to nie $5 + 12$ .
$c = \sqrt{169} = \hl{13}$
Naprzeciw kąta $\alpha$ leży $\hl{a = 5}$ , przy kącie $\alpha$ leży $\hl{b = 12}$ .
Komentarz:
Bok naprzeciw kąta to ten, który go nie dotyka. Zaznacz $\alpha$ na szkicu, zanim coś podstawisz.
Sinus to bok naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną: $\sin\alpha = \frac{\hl{5}}{13}$
Typowy błąd
Źle:
Sinus to bok naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną: $\sin\alpha = \frac{\pen{12}}{13}$
Co poszło nie tak:
$12$ leży przy kącie, więc to cosinus. Sinus i cosinus się zamienią, a tangens wyjdzie $\frac{12}{5}$ .
Cosinus to bok przy kącie przez przeciwprostokątną: $\cos\alpha = \frac{\hl{12}}{13}$
Tangens to bok naprzeciw kąta przez bok przy kącie: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{\hl{5}}{\hl{12}}$
Komentarz:
W tangensie nie ma przeciwprostokątnej: $\frac{5}{13} : \frac{12}{13} = \frac{5}{12}$ .
Kontrola: sinus i cosinus kąta ostrego są mniejsze od $1$ , bo przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej. Tutaj wszystko się zgadza.

Zadanie 1

1 pkt

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|BC| = 8$ , $|AC| = 15$ i $|AB| = 17$ (zobacz rysunek). Sinus kąta $\alpha$ przy wierzchołku $A$ jest równy:

A.
$\frac{8}{17}$
B.
$\frac{15}{17}$
C.
$\frac{8}{15}$
D.
$\frac{17}{8}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $\frac{8}{17}$

Rozwiązanie

Naprzeciw kąta $\alpha$ (przy $A$ ) leży bok $BC$ , bo nie wychodzi z wierzchołka $A$ .
$\sin\alpha = \frac{|BC|}{|AB|} = \frac{8}{17}$

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
To cosinus: bok $AC = 15$ leży przy kącie $\alpha$ , a sinus bierze bok naprzeciw kąta.
C
To tangens: dwie przyprostokątne. Sinus dzieli bok naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną.
D
Ułamek odwrócony. Taki „sinus” jest większy od $1$ , a to niemożliwe, bo przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 1

Zadanie 2

2 pkt

W trójkącie prostokątnym $ABC$ kąt przy wierzchołku $C$ jest prosty, $|AC| = 24$ i $|BC| = 7$ . Kąt przy wierzchołku $A$ oznaczamy $\alpha$ . Oblicz $\sin\alpha$ , $\cos\alpha$ i $\operatorname{tg}\alpha$ . Wyniki wpisz jako ułamki, np. 3/5.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$\sin\alpha =$ $0{,}28$
$\cos\alpha =$ $0{,}96$
$\operatorname{tg}\alpha =$ $0{,}291666667$

Rozwiązanie

$|AB| = \sqrt{576 + 49} = \sqrt{625} = 25$
Naprzeciw kąta $\alpha$ leży $|BC| = 7$ , przy kącie $\alpha$ leży $|AC| = 24$ .
$\sin\alpha = \frac{7}{25} = 0{,}28, \qquad \cos\alpha = \frac{24}{25} = 0{,}96, \qquad \operatorname{tg}\alpha = \frac{7}{24}$

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 2

Dwa kąty ostre jednego trójkąta

Trójkąt prostokątny ma dwa kąty ostre: $\alpha$ przy $A$ i $\beta$ przy $B$ . Razem dają $90^\circ$ . Bok, który dla $\alpha$ leży naprzeciw, dla $\beta$ leży przy kącie, i odwrotnie. Przeciwprostokątna jest wspólna.

\sin\beta = \frac{b}{c} = \cos\alpha \qquad \cos\beta = \frac{a}{c} = \sin\alpha \qquad \operatorname{tg}\beta = \frac{b}{a} = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}

dla kątów ostrych jednego trójkąta prostokątnego, czyli gdy α + β = 90°

Zadanie 3

2 pkt

Kąty $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego. Oceń, czy zdanie jest prawdziwe dla każdego takiego trójkąta.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

$\sin\alpha = \cos\beta$
$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta$
$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta = 1$
$\sin\alpha + \sin\beta = 1$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$\sin\alpha = \cos\beta$ : P (prawda)
$\operatorname{tg}\alpha = \operatorname{tg}\beta$ : F (fałsz)
$\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta = 1$ : P (prawda)
$\sin\alpha + \sin\beta = 1$ : F (fałsz)

Rozwiązanie

Z rysunku: $\sin\alpha = \frac{a}{c}$ , $\cos\beta = \frac{a}{c}$ , $\operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$ , $\operatorname{tg}\beta = \frac{b}{a}$ .
Stąd $\sin\alpha = \cos\beta$ i $\operatorname{tg}\alpha \cdot \operatorname{tg}\beta = 1$ .
$\sin\alpha + \sin\beta = \frac{a + b}{c} > 1$ , bo $a + b > c$ (nierówność trójkąta).

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 3

Zadanie 4

1 pkt

Kąty $\alpha$ i $\beta$ są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego, a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}$ . Oblicz $\operatorname{tg}\beta$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

\operatorname{tg}\beta =

2{,}5

Rozwiązanie

$\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}$ , więc przyprostokątne mogą mieć długości $2$ (naprzeciw $\alpha$ ) i $5$ (przy $\alpha$ ).
$\operatorname{tg}\beta = \frac{5}{2} = 2{,}5$

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 4

Wolisz sprawdzać od razu? W kursie te same zadania oceniają się same, a przy błędnej odpowiedzi widzisz, co poszło nie tak. Przećwicz ten rozdział w kursie, za darmo

Kąty 30°, 45° i 60°

Dla trzech kątów wartości są dokładne, z pierwiastkami. Nie trzeba ich pamiętać na ślepo, bo biorą się z dwóch prostych figur:

połowa kwadratu o boku $1$ : trójkąt o kątach $45^\circ$ , $45^\circ$ , $90^\circ$ , z przyprostokątnymi $1$ i $1$ oraz przeciwprostokątną $\sqrt{2}$ (przekątna kwadratu);
połowa trójkąta równobocznego o boku $2$ : trójkąt o kątach $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ , z bokami $1$ , $\sqrt{3}$ i $2$ .

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty o kątach

30^\circ

60^\circ

90^\circ

Przykład Wartości dla 30° i 60° z trójkąta równobocznego

Korzystając z rysunku, wyznacz $\sin 60^\circ$ , $\cos 60^\circ$ , $\operatorname{tg} 60^\circ$ oraz $\sin 30^\circ$ , $\cos 30^\circ$ , $\operatorname{tg} 30^\circ$ .

Wysokość z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ADC$ : $h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$
Kąt $60^\circ$ przy $A$ : naprzeciw leży $h = \sqrt{3}$ , przy kącie $|AD| = 1$ , przeciwprostokątna $2$ . $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
Kąt $30^\circ$ przy $C$ : role przyprostokątnych się zamieniają. $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Z połowy kwadratu tak samo: $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ i $\operatorname{tg} 45^\circ = \frac{1}{1} = 1$ .

\begin{array}{c|ccc} & 30^\circ & 45^\circ & 60^\circ \\ \hline \sin & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\[4pt] \cos & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] \operatorname{tg} & \frac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} \end{array}

sinus rośnie, cosinus maleje; cos 30° = sin 60° i cos 60° = sin 30°

Zadanie 5

1 pkt

Wartość wyrażenia $\sin 60^\circ \cdot \operatorname{tg} 30^\circ$ jest równa:

A.
$\frac{1}{2}$
B.
$\frac{\sqrt{3}}{6}$
C.
$\frac{3}{2}$
D.
$\frac{3}{4}$

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

A. $\frac{1}{2}$

Rozwiązanie

$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Skąd biorą się błędne odpowiedzi

B
Tak wychodzi, gdy za $\sin 60^\circ$ wstawisz $\frac{1}{2}$ , czyli sinus $30^\circ$ .
C
Tak wychodzi, gdy za $\operatorname{tg} 30^\circ$ wstawisz $\sqrt{3}$ , czyli tangens $60^\circ$ .
D
Tak wychodzi, gdy za $\operatorname{tg} 30^\circ$ wstawisz $\frac{\sqrt{3}}{2}$ , czyli cosinus $30^\circ$ .

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 5

Zadanie 6

1 pkt

Oblicz dokładną wartość wyrażenia $2\sin 60^\circ + \operatorname{tg} 30^\circ$ . Pierwiastek wpisz jako sqrt(3) albo √3, np. 5sqrt(3)/2.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

wartość::

\frac{4\sqrt{3}}{3}

Rozwiązanie

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} + \sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 6

Tablica wartości i szukanie kąta

Dla innych kątów wartości są liczbami niewymiernymi, więc używasz przybliżeń z tablicy. Tablica działa w obie strony:

znasz kąt, szukasz wartości: czytasz wiersz kąta, np. $\sin 40^\circ \approx 0{,}6428$ ;
znasz wartość, szukasz kąta: w odpowiedniej kolumnie szukasz liczby najbliższej podanej i czytasz kąt.

Pomaga to, jak zachowują się funkcje kąta ostrego. Gdy kąt rośnie od $0^\circ$ do $90^\circ$ :

$\sin\alpha$ rośnie od $0$ do $1$ ;
$\cos\alpha$ maleje od $1$ do $0$ ;
$\operatorname{tg}\alpha$ rośnie od $0$ i może być dowolnie duży (dla $89^\circ$ jest już ponad $57$ ).

Dla kąta ostrego zawsze $0 < \sin\alpha < 1$ i $0 < \cos\alpha < 1$ , bo przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej.

Przykład Kąt z wartości sinusa

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha = 0{,}4$ . Korzystając z tablicy, podaj miarę $\alpha$ z dokładnością do $1^\circ$ .

W kolumnie $\sin$ szukasz liczb wokół $0{,}4$ : $\sin 23^\circ \approx 0{,}3907$ i $\sin 24^\circ \approx 0{,}4067$ .
Odległości od $0{,}4$ : $0{,}4 - 0{,}3907 = 0{,}0093$ oraz $0{,}4067 - 0{,}4 = 0{,}0067$ .
Bliżej jest $\sin 24^\circ$ , więc $\alpha \approx 24^\circ$ .

Zadanie 7

2 pkt

Kąty $\alpha$ i $\beta$ są ostre, $\operatorname{tg}\alpha \approx 0{,}7265$ i $\sin\beta \approx 0{,}9135$ . Korzystając z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych, podaj miary tych kątów w stopniach.

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$\alpha =$ $36$
$\beta =$ $66$

Rozwiązanie

W kolumnie $\operatorname{tg}$ : $\operatorname{tg} 36^\circ \approx 0{,}7265$ , więc $\alpha = 36^\circ$ .
W kolumnie $\sin$ : $\sin 66^\circ \approx 0{,}9135$ , więc $\beta = 66^\circ$ . (Ta sama liczba to też $\cos 24^\circ$ , ale pytamy o sinus.)

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 7

Zadanie 8

2 pkt

Oceń prawdziwość zdań. Możesz korzystać z tablicy wartości funkcji trygonometrycznych.

Oceń każde zdanie: prawda (P) czy fałsz (F)?

$\sin 25^\circ < \sin 65^\circ$
$\cos 25^\circ < \cos 65^\circ$
$\operatorname{tg} 80^\circ > 5$
Istnieje kąt ostry $\alpha$ , dla którego $\sin\alpha = 1{,}2$ .

Odpowiedź i rozwiązanie

Odpowiedź:

$\sin 25^\circ < \sin 65^\circ$ : P (prawda)
$\cos 25^\circ < \cos 65^\circ$ : F (fałsz)
$\operatorname{tg} 80^\circ > 5$ : P (prawda)
Istnieje kąt ostry $\alpha$ , dla którego $\sin\alpha = 1{,}2$ .: F (fałsz)

Rozwiązanie

Dla kątów ostrych: sinus i tangens rosną, cosinus maleje.
$0 < \sin\alpha < 1$ i $0 < \cos\alpha < 1$ , a $\operatorname{tg}\alpha$ może być dowolną liczbą dodatnią.

Rozwiąż interaktywnie w kursie: zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przepisz ją do zeszytu. Przepisywanie też uczy.

$\sin\alpha = \frac{a}{c}, \quad \cos\alpha = \frac{b}{c}, \quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{a}{b}$: a naprzeciw kąta, b przy kącie, c przeciwprostokątna
$\alpha + \beta = 90^\circ \;\Rightarrow\; \sin\alpha = \cos\beta, \quad \operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\operatorname{tg}\alpha}$: dwa kąty ostre jednego trójkąta prostokątnego
$\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \tfrac{\sqrt{3}}{2}$: cosinusy w odwrotnej kolejności; tg 30° = √3/3, tg 45° = 1, tg 60° = √3
$0 < \sin\alpha < 1, \quad 0 < \cos\alpha < 1, \quad \operatorname{tg}\alpha > 0$: dla kąta ostrego; sinus i tangens rosną, cosinus maleje

Wygląd i czytelność

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Przykład Trzy funkcje z trzech boków

Zadanie 1

Zadanie 2

Dwa kąty ostre jednego trójkąta

Zadanie 3

Zadanie 4

Kąty 30°, 45° i 60°

Przykład Wartości dla 30° i 60° z trójkąta równobocznego

Zadanie 5

Zadanie 6

Tablica wartości i szukanie kąta

Przykład Kąt z wartości sinusa

Zadanie 7

Zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

1Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Przykład Trzy funkcje z trzech boków

Zadanie 1

Zadanie 2

2Dwa kąty ostre jednego trójkąta

Zadanie 3

Zadanie 4

3Kąty 30°, 45° i 60°

Przykład Wartości dla 30° i 60° z trójkąta równobocznego

Zadanie 5

Zadanie 6

4Tablica wartości i szukanie kąta

Przykład Kąt z wartości sinusa

Zadanie 7

Zadanie 8

Ściąga: najważniejsze wzory

Przećwicz ten rozdział w kursie

Inne poradniki

Sinus, cosinus i tangens w trójkącie prostokątnym

Dwa kąty ostre jednego trójkąta

Kąty 30°, 45° i 60°

Tablica wartości i szukanie kąta